Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений ( глобального максимума и глобального минимума)

При решении прикладных задач важное значение имеют задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на каком-либо промежутке.

Согласно теореме Вейерштрасса (§ 8.4), если функция непрерывна на отрезке , то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Например, на рис. 10.9 ВСТАВИТЬ наибольшее значение функция имеет на конце отрезка, в точке , а наименьшее – в точке минимума .

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке следует выполнить следующие действия:

1) найти производную ;

2) найти критические точки функции, в которых или не существует;

3) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 10.11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Вычисляем производную . Точек, в которых производная не существует, у данной функции нет. Находим точки, в которых производная равна нулю, получаем . Вычисляем значения функции в этой точке и на концах отрезка: ; ; . Следовательно, , .

Замечание: На интервале функция достигает наибольшего или наименьшего значения только в точках локальных экстремумов.