Правила вычисления производной

Рассмотрим функции и , имеющие производные и .

Теорема 1. Производная от постоянной величины равна нулю.

Доказательство. Пусть , где . Тогда , , т.е. и

.

Теорема 2. Производная алгебраической суммы двух функций равна сумме производных слагаемых.

Доказательство. Пусть . Тогда

,

откуда . Находим

,

следовательно,

,

т. е.

,

или

.

(9.5)

Пример 9.4. .

Замечание. Правило дифференцирования суммы двух слагаемых распространяется на случай алгебраической суммы лю­бого конечного числа слагаемых.

Теорема 3. Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

.

(9.6)

Доказательство. Пусть . Тогда

,

откуда

,

и

.

Следовательно

.

Поскольку функция имеет производную, она непрерывна и , поэтому , что и требовалось доказать.

Пример 9.5. Вычислим производную функции .

Согласно (9.6)

.

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

.

(9.7)

Теорема 4. Производная частного двух функций вычисляется по формуле

.

(9.8)

Доказательство. Пусть , где . Тогда

,

откуда

.

Следовательно,

,

и

,

т.е.

, или .