Связь между непрерывностью и существованием производной

Пусть функция имеет производную в данной точке х, т. е. существует предел

.

Переменная величина равна сумме своего предела и бесконечно малой при величины . Поэтому справедливо равенство

.

Умножая обе части равенства на ∆ x, получаем

.

(9.4)

Теорема. Если функция имеет производную в данной точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Согласно (9.4) Найдем

Так как при , то по второму определению непрерывности функция непрерывна в точке х.

Обратное утверждение может не выполняться.

Пример 9.3. Рассмотрим функцию (рис. 9.4.)

Значение . При переходе от точки к точке функция получает приращение

.

Если , то , следовательно, функция непрерывна в точке .

Рассмотрим отношение :

если , то , и ;

если , то и .

Левый и правый пределы функции не равны между собой, следовательно, в точке предел отношения приращения функции к приращению аргумента не существует, следовательно функция не имеет производной в этой точке.

Таблица производных