Линии (кривые) второго порядка. К классическим линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола

Ox ₀ x

Рис. 18.

Уравнение окружности, изображенной на рисунке 18, имеет вид:

2. Эллипс. Геометрическое место точек M(x,y), сумма рассто­яний которых от двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть вели­чина постоянная, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F₁ и F₂ по­стоянна (рис.19):

Рис. 19.

.

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его канонической форме:

.

Числа называются полуосями эллипса, , точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эллипса. Из уравнения следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

.

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 20 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F₁ и F₂, согласно определению, есть величина по­стоянная:

.

Рис. 20.

Из этой основной предпосылки выводится каноническое урав­нение гиперболы, которое имеет вид

,

где .

Нетрудно видеть, что прямые являются наклонными асимптотами гиперболы. Гипербола имеет две оси симметрии, точка пересечения которых является центром ее симметрии.

4. Парабола. Параболой называется линия, все точки ко­торой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой дирек­трисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка лежит на параболе, если . Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

.

График параболы показан на рис. 21. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида , где А — постоянное число.

Рис. 21.

Нетрудно заметить, что все четыре линии второго порядка содержат в своих уравнениях хотя бы одну переменную во второй степени. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

,

где – произвольные действительные числа, причем хотя бы одно из чисел или не равно нулю. Уравнение определяет следующие типы кривых:

эллиптического типа, если ;

гиперболического типа, если ;

параболического типа, если