Примеры. Решение. На основании теоремы (предел суммы и произведения) имеем

1. Найти

Решение. На основании теоремы (предел суммы и произведения) имеем

,

так как .

2. Найти

Решение. Предел числителя

,

а предел знаменателя

Так как предел знаменателя не равен нулю, то, применяя теорему (предел частного), окончательно получаем

.

3. Доказать, что .

Решение. Пусть . Возьмем дугу окружности единичного радиуса и угол, радианная мера которого равна х (рис.6). Тогда , . Так как то ,

а так как , то из неравенств и теоремы сравнения следует, что .

Аналогично,

15. Доказать, что .

Решение. Для любого выполняются неравенства

.

Имеем так как (докажите это самостоятельно). По теореме сравнения получаем, что

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если сходящейся к соответствующая последовательность является бесконечно большой.

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при

Отметим, что между бесконечно малым и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т.е. функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

Специальные пределы. Первый специальный предел:

.

Доказательство аналогичное примеру 15.

Второй специальный предел:

.

Третий специальный предел:

.