Непрерывность функции. Определение непрерывной функции и точек разрыва

Определение непрерывной функции и точек разрыва. Пусть на некотором промежутке определена функция и точка принадлежит этому промежутку.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

.

Так как , то определение можно записать в следующем виде:

,

т.е. для непрерывной функции знакифункциии предела можно переставлять.

Можно дать равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей»: функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумент а х: сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к .

Если , то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Сформулируем, наконец, еще одно определение непрерывности функции, которое, по существу, является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем

.

Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается, как правило, (читается: «дельта икс»), а разность -приращением функции в точке , вызванным приращением аргумента , и обозначается . Таким образом, , .

Отметим, что является функцией аргумента при фиксированной точке . Геометрический смысл приращений ясен из рис.8. Последнее равенство в новых обозначениях принимает вид

.

Это соотношение и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .

Теорема. (Арифметические действия над непрерывными функциями). Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в этой точке(последняя при ).

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.

Разрывы функции классифицируются следующим образом.

Определение. Пусть определена в окрестности точки , за исключением может быть самой , тогда:

а) точка называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный предел в точке , но он не равен значению функции в этой точке, т.е. ;

б) точка называется точкой разрыва I рода, если существуют односторонние (конечные) пределы в точке , но они не равны между собой:

;

в) точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке не существует или равен бесконечности.

Примеры.

1. Функция имеет в точке x =2 устранимый разрыв.

Рис.8.

2. Функция имеет в точке x =0 разрыв 1 рода

Рис.9.

3. . Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем эту точку на непрерывность.

, так как ;

, так как ;

.

В точке x=0 разрыв 1 рода.

Рис.10.

4. Функция в точке x =-1имеет разрыв 2 рода, т.к.

Рис.11.

5. Функция не определена в точке x =1.

, так как ;

, так как .

Рис.12.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Легко проверяется, что все основные элементарные функции непрерывны в своих естественных областях определения. Тогда, из последних двух теорем следует, что все элементарные функции непрерывны в своих естественных областях определения.

Будем говорить, что функция непрерывна в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке , если она непрерывна в интервале , и непрерывна в точке справа, а в точке слева, т.е.

, .

После того как мы установили, что элементарные функции обладают свойством непрерывности в каждой точке области их определения, открылись широкие возможности для вычисления пределов элементарных функций.

Примеры. 1. Найти .

Решение. Так как функция непрерывна в точке , т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны, то, переходя к пределу, получаем:

.

2. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке , т.е. не является непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходим к пределу, как в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию тождественно преобразовать так, чтобы она при совпала с некоторой функцией , непрерывной в точке , т.е. найти такую непрерывную функцию , чтобы при или . Для этого умножим числитель дроби на сумму :

.

Таким образом, при . Но функция непрерывна в точке , поэтому

.

3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке . Для нахождения предела преобразуем дробь:

.

При имеем

.

Но функция непрерывна в точке . Поэтому, переходя к пределу, получаем

.

При вычислении пределов функции при , и , содержащих радикалы, надо рассматривать арифметическое значение корня при и .

4. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. Во всех случаях имеем неопределенность вида .

а) При имеем , поэтому

.

б) При имеем , следовательно,

.

3) не существует, так как пределы при и при разные.

5. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . При , , поэтому

.

Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функций разных знаков есть неопределенность вида . Будем также говорить, что произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую есть неопределенность вида . В этих случаях о пределе суммы и произведения ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать.