Свойства непрерывных функций. Здесь будут сформулированы важные свойства функций непрерывных в точке и на отрезке

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что для всех функция имеет тот же знак, что .(рис.13)

Теорема (первая теорема Больцано-Коши).Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой . (рис.14).

Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось , в другую пересекает эту ось (рис.14).

Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши).Пусть функция непрерывна на отрезке , причем , . Пусть, далее, – любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка, что .

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса).Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Замечание. Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом . Так, например, функция непрерывна на интервале , но не ограничена, так как .

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке , то имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значение.