Примеры. 1.Пусть Эта функция при имеет предел, равный нулю

1.Пусть Эта функция при имеет предел, равный нулю. Действительно, если – бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции по теореме является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т.е. .

2. Доказать, что функция sin x не имеет предела при .

Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет опред. 8. Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность значений аргумента, элементы которой положительны, что последовательность значений функций расходится.

Положим . Тогда при , последовательность принимает значения , а последовательность расходится, что и требовалось доказать.

Арифметические свойства пределов функции. Определение предела функции дает возможность перенести доказанные ранее теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема ( об арифметических операциях)Пусть функции и имеют в точке пределы B и С. Тогда функции , и (при C ) имеют в точке х пределы, равные соответственно и .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. где f (x)= C -постоянный множитель.

Теорема (сравнения).Пусть функции , и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и функции , имеют в точке предел, равный А, т. е. Пусть, кроме того, выполняются неравенства Тогда

Замечание. Теоремы верны также и в случае, когда является одним из символов или .