Примеры. Решение. Знаменатель дроби при стремится к нулю

1.Найти

Решение. Знаменатель дроби при стремится к нулю. Поэтому теорема об арифметических операциях здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

.

2. Найти

Решение. Имеем

.

3. Найти

Решение. Имеем

.

4. Найти

Решение. Положим . Тогда при и . Следовательно,

.

Вычисление пределов функций. Мы познакомились с понятием предела функции при , , , , и , с непосредственным применением теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций и , имеющих конечные пределы, для вычисления пределов и т. д. Осталось рассмотреть те случаи вычисления пределов, которые не охватываются рассмотренными ранее способами.

Будем говорить, что отношение двух функций есть неопределенность вида или , если числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при , и . В этих случаях о пределе отношения ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения , если он существует, или установить, что он не существует. На конкретных примерах посмотрим, как это делается.

Примеры.

1. Найти .

Решение. Непосредственно теорему о пределе частного применить нельзя, так как предел знаменателя при равен нулю. Здесь и предел числителя при также равен нулю. Следовательно, имеем неопределенность вида . Необходимо, как говорят раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в определении предела функции при значение функции в точке не выходит. Получаем

.

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта. Применяя теорему об арифметических операциях над пределами, окончательно находим

.

При вычислении пределов отношения двух многочленов при , и для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на х в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. При этом, если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или .

2.Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 3.3, получим

.

3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему, получим

.

4. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

,

так как при функция имеет предел, равный 1, функция ограниченная (докажите это самостоятельно), функция бесконечно малая (также докажите самостоятельно) и (произведение ограниченной на бесконечно малую), т. е. данная дробь, как обратная, есть бесконечно большая функция при .

Вычисление пределов функции продолжим после того, как рассмотрим понятие непрерывности функции.