Односторонние пределы. В дальнейшем будем использовать понятие односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом

Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность сходится к . Обозначение:

.

В качестве примера рассмотрим функцию . Эта функция имеет в точке правый и левый пределы:

, .

Связь между односторонними пределами и преде­лом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Примеры.

1. Доказать, что функция в точке не имеет предела.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой. При функция задается формулой . Так как предел функции в точке равен нулю (доказать самостоятельно), то, по теореме, левый предел данной функции в этой точке также равен нулю, т. е.

.

Аналогично доказывается, что правый предел данной функции в точке равен 1, т. е. . Следовательно, в точке данная функция имеет правый и левый пределы, но они не равны. Это и означает, что данная функция в точке предела не имеет, т.е. и не существует.

2. Доказать, что функция в точке имеет предел.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки . Вычислим в точке односторонние пределы функции . Имеем , так как ; . Следовательно, в точке данная функция имеет правый и левый пределы и они равны. Согласно теореме, это означает, что данная функция в точке имеет предел и он равен нулю, т.е.

.

Пределы функции на бесконечности. Кроме рассмотренных понятий предела функций при и односторонних пределов, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначение: .

Определение. Число А называется пределом функции при (, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначение: .