 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Тригонометрические функции
|
|
При определении синуса и косинуса произвольного угла в 
радиан пользуются окружностью, причем наиболее наглядно свойства их видны, если окружность имеет единичный радиус.
у Определение 1. Ордината точки 
, полученной при
повороте точки 
(1; 0) вокруг начала координат на
угол радиан, называется синусом числа
|
, а
s абсцисса этой точки – косинусом . Обозначаются
|
|
и cos .
|
Сопоставляя каждому числу х его синус и косинус,
J получим две функции sin х и cos х, определенные на
всей числовой прямой.
Непосредственно из определения следует, что
областью значений этих функций является отрезок 
; обе функции – периодические с основным
периодом 
; cos х – функция четная (так как
cos (– ) = cos ), sin х – функция нечетная (так как sin (– ) = – sin ), поэтому их графики симметричны относительно оси Оу и начала координат соответственно.
sin х > 0 в I и II четвертях, sin х < 0 в III и IV четвертях, sin х = 0 
, то есть 
– точки пересечения графика sin х с осью Ох, (0; 0) – с осью Оу.
cos х > 0 в I и IV четвертях, cos х < 0 во II и III четвертях, cos х = 0 
,
, т.е. 
– точка пересечения графика cos х с осью Ох, (0; 1) – с осью Оу.
Функция 
возрастает от – 1 до 1 на отрезках 
, убывает от 1 до – 1 на отрезках 
, поэтому 
–точки максимума, 
, 
– точки минимума, 
.
Функция 
возрастает от – 1 до 1 на отрезках 
, убывает от 1 до – 1 на отрезках 
, поэтому 
– точки максимума, , 
– точки минимума, .
Установим непрерывность функций cos х и sin х в каждой точке 
, пользуясь известным неравенством
.
Теорема 1. Функции cos х и sin х непрерывны в каждой точке числовой прямой.
Доказательство. Пусть 
– произвольная точка числовой прямой. Докажем, что функция cos х непрерывна в этой точке. Имеем
Поскольку 
, по теореме о промежуточной переменной 
и 
, то есть функция cos х непрерывна в точке и в силу произвольности точки 
функция cos х непрерывна в каждой точке числовой прямой.
По формуле приведения 
, поэтому по теореме о непрерывности сложной функции функция sin х непрерывна в каждой точке числовой прямой, так как функции cos t и 
непрерывны всюду. Теорема доказана.
Из теоремы 1 и того, что 
, следует, что вертикальных асимптот нет (это следует и из ограниченности функций). Поскольку 
и 
не существуют, нет и горизонтальных асимптот. Наклонных асимптот тоже нет, так как 
.
Рассмотрим функцию . Имеем 
.
– + – + – 
· · · · · · – 2π – π 0 π 2π 3π
Видим, что (π n; 0) – точки перегиба, 
– интервалы выпуклости вверх, 
– интервалы выпуклости вниз.
Графиком функции является синусоида.
у
 |  |  |
–2 π – π О π 2 π х
Из равенства 
видим, что графиком функции является сдвинутая влево на 
синусоида.
у
 | |||||
 |  | ||||
х
– 
– 
– О
Определение 2. Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к его косинусу: 
.
Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к его синусу: 
.
Свойства функций 
и 
вытекают из свойств функций 
и 
.
Рассмотрим функцию 
.
. Нечетная. Периодическая с основным периодом 
. Это следует из равенств 
0 
. Аналогично, 
.
в I и III четвертях, 
во II и IV четвертях.
– вертикальная асимптота, в силу периодичности, 
– вертикальные асимптоты. В силу периодичности , горизонтальных и наклонных асимптот нет. Непрерывность в 
следует из теоремы о непрерывности частного непрерывных функций.
(π n; 0) – точки пересечения с осью Ох, (0; 0) – точка пересечения с осью Оу.
в , поэтому функция возрастает в интервалах 
, точек экстремума нет.
.
– + – + ◦ • ◦ • ◦ 
0 π
(π n; 0) – точки перегиба, 
– интервалы выпуклости вверх, 
– интервалы выпуклости вниз.
Аналогично исследуется функция 
.
у у
х х
О О π
Обратные тригонометрические функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x были рассмотрены в главе I. Их свойства устанавливаются с помощью свойств функций sin x, co s x, tg x, ctg x и теоремы о существовании и непрерывности обратной функции.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 190 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
