Выпуклые кривые. Точки перегиба кривой

Определение 1. Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) в точке , если в некоторой окрестности точки она лежит ниже (соответственно, выше) касательной . Если кривая выпукла вверх (вниз) в каждой точке некоторого промежутка, то она называется выпуклой вверх (вниз) на этом промежутке.

В точке кривая выпукла вверх, в точке выпукла вниз.

у

А

В

О х

Теорема 1 (достаточные условия выпуклости кривой). Пусть функция определена, непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке 2-ю производную. Тогда, если , то кривая выпукла вниз в точке , если , то в этой точке кривая выпукла вверх.

Доказательство. Запишем уравнение касательной к кривой в точке в виде и рассмотрим функцию . Имеем . Если , то и , и по второму достаточному условию экстремума функция имеет в точке минимум. Поскольку , то в некоторой окрестности точки для всех , то есть кривая выпукла вниз в точке .

Если , то и , и аналогично показывается, что из некоторой окрестности точки , поэтому в этой проколотой окрестности кривая выпукла вверх в точке . Теорема доказана.

Определение 2. Точка называется точкой перегиба кривой , если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то есть если в некоторой окрестности точки для всех все точки кривой лежат по одну сторону от касательной, а для всех – по другую.

у

		Точка – точка перегиба кривой .

А

О х

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба). Для того, чтобы кривая имела перегиб в точке , необходимо, чтобы в точке 2-я производная функции либо не существовала, либо была равна нулю.

Доказательство. Предположим противное, то есть что – точка перегиба кривой и существует , причем . Тогда либо и по предыдущей теореме кривая выпукла вниз в точке , либо и кривая выпукла вверх в этой точке. И в том, и в другом случае кривая лежит по одну сторону от касательной в некоторой окрестности точки , то есть эта точка не является точкой перегиба. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 3 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , на интервалах и существует 2-я производная , причем она сохраняет знак на каждом из этих интервалов. Тогда, если на и знаки 2-ой производной различны, то точка является точкой перегиба кривой , если одинаковы, то перегиба нет.

Доказательство. Пусть – уравнение касательной в точке к кривой . Рассмотрим функцию . Применим к разности формулу Лагранжа: , где – точка между х и . Получим . Вновь применим формулу Лагранжа, теперь к разности , где – точка между и . Таким образом, . Заметим, что точки х и

	находятся по одну сторону от точки , поэтому . Следовательно, знак зависит от знака . Если имеет разные знаки на интервалах и , то имеет

х

• • • •

• • • •

разные знаки, когда и , т.е. меняет знак при переходе через точку . Это означает, что кривая лежит с одной стороны от точки выше, а с другой стороны – ниже касательной, т.е. – точка перегиба.

Если же на интервалах и имеет один и тот же знак, то имеет один знак, тоже сохраняет знак на интервале , поэтому точка не является точкой перегиба. Теорема доказана.

Сформулируем правило отыскания точек перегиба кривой . Нужно:

1) найти область определения ;

2) вычислить ;

3) найти точки из , в которых не существует или равна нулю;

4) исследовать знак слева и справа от каждой из найденных точек;

5) сделать вывод об этих точках на основании достаточного условия точки перегиба.

Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости вверх и вниз функции .

Поэтому точка , то есть точка – точка перегиба кривой, –

Решение. Область определения не существует в точке , причем . Отметим точки 0 и на числовой прямой и определим знак на каждом из двух полученных интервалов области определения: . – +

Поэтому точка , т.е. точка – точка перегиба кривой, –интервал выпуклости вверх кривой, – интервал выпуклости вниз кривой.

Замечание. Определение выпуклой кривой нами было дано с помощью касательной к кривой, т.е. соответствующая функция предполагалась дифференцируемой. Есть и другие, более общие определения, не предполагающие дифференцируемости функции. Теоремы при этом доказываются несколько более сложно.