Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Определение 1. Точка называется точкоймаксимума (минимума) функции , если существует окрестность , такая, что для всех . Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Заметим, что точкой экстремума функции может быть только внутренняя точка промежутка, в котором функция определена, поскольку указанные в определении неравенства должны выполняться в некоторой окрестности точки .

		– точки максимума, – точки минимума функции .

О х

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Для того чтобы дифференцируемая функция имела в точке экстремум, необходимо выполнение условия .

Доказательство. Пусть – точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда найдется окрестность точки , в которой будет наибольшим или наименьшим значением функции . Поэтому по теореме Ферма . Теорема доказана.

Определение 2. Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками функции.

Из доказанной теоремы следует, что точками экстремума функции могут быть только стационарные точки и точки, в которых производная не существует. Такие точки называют подозрительными на экстремум или критическими точками функции.

Заметим, что не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для функции критической является стационарная точка , так как существует для всех х, . Но точка не является точкой экстремума этой функции, так как функция всюду возрастает.

Таким образом, нам надо найти условия, при которых критическая точка является точкой экстремума – достаточные условия экстремума. Есть два типа таких условий. Одни используют производную 1-го порядка, другие – производную 2-го порядка.

Рассмотрим достаточное условие экстремума, опирающиеся на 1-ю производную функции.

Предположим, что функция непрерывна в окрестности критической точки и в проколотой окрестности существует конечная производная , сохраняющая определенный знак как слева, так и справа от точки . Тогда возможны следующие три случая:

1) при и при , то есть при переходе через точку меняет знак с плюса на минус. В этом случае, в силу теоремы 3 § 8, функция возрастает в промежутке и убывает в промежутке , поэтому значение является наибольшим в окрестности , то есть – точка максимума функции .

2) при и при , то есть при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс. Рассуждая как в 1-ом случае, приходим к выводу, что – точка минимума функции .

3) При переходе через точку не меняет знака. Тогда функция либо все время возрастает, либо все время убывает, так что в точке экстремума нет.

Таким образом, достаточное условие экстремума состоит в следующем:

если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум. При перемене знака с плюса на минус в точке функция имеет максимум, с минуса на плюс – минимум. Если же при переходе через точку производная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.

Сформулируем правило исследования функции на экстремум. Нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти производную;

3) найти критические точки функции из области определения, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует;

4) определить знак производной слева и справа от каждой из критических точек;

5) на основании достаточного условия экстремума сделать выводы относительно каждой из критических точек.

Пример 1. Найдем экстремумы функции .

Решение. Область определения , существует во всех точках области определения, , , , – +

0

т.е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому – точка минимума функции, – минимум функции.

Достаточное условие экстремума функции, опирающееся на 2-ю производную, формулируется следующим образом.

Теорема 2. Пусть и в точке существует 2-я производная. Тогда, если , то – точка минимума функции, а если , то – точка максимума функции.

Доказательство. Пусть . Так как есть производная функции , то по теореме 4 § 8 функция в точке возрастает, т.е. вблизи точки слева , а справа , т.е. при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс. Поэтому по первому достаточному условию экстремума функции точка − точка минимума функции.

Если , то функция в точке убывает, меняя знак с плюса на минус, поэтому точка − точка максимума функции. Теорема доказана.

Замечание. Доказанная теорема позволяет исследовать функции на экстремум только в стационарных точках, т.е. в точках, в которых первая производная равна нулю. Вопрос остается открытым и в том случае, когда вторая производная равна нулю. В этом случае нужно либо изучать поведение высших производных, либо пользоваться правилом, опирающимся на первую производную.

Пример 2. Найдем экстремумы функции .

Решение. Область определения функции , существует всюду в , – точка максимума, ; – точки минимума, .

Остановимся теперь на задаче о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса она принимает на и свое наибольшее, и свое наименьшее значения. Однако в теореме Вейерштрасса ничего не говорится о том, как искать эти значения. Ясно, что эти значения могут достигаться как во внутренних точка отрезка, так и на его концах. Если наименьшее (наибольшее) значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то эта точка обязательно будет точкой минимума (максимума) функции. А точки экстремума функции обязательно находятся в критических точках. Поэтому достаточно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках, не исследуя эти точки на экстремум.

Таким образом, правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке состоит в следующем. Нужно:

1) найти производную данной функции;

2) найти критические точки, принадлежащие данному отрезку;

3) вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка;

4) из всех найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Имеем . Из найденных стационарных точек функции только . Других критических точек нет, так как производная определена всюду. Находим , , . Видим, что , .