Полное исследование функций и построение их графиков

Есть различные схемы полного исследования функций. Одна из возможных схем следующая. Нужно:

1. Установить область определения функции. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. Установить точки разрыва и характер разрыва. Исследовать поведение функции на границе области определения. Найти асимптоты. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Исследовать функцию на экстремум. Установить интервалы монотонности функции.

3. Исследовать направление выпуклости графика функции, найти точки перегиба.

4. Построить график функции, используя все полученные результаты. При необходимости вычислить значения функции при некоторых значениях ее аргумента.

Пример. Проведем полное исследование функции и построим ее график.

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точке , поэтому – симметрична относительно начала координат. Функция не является четной и нечетной, так как Функция не является периодической, так как не существует только в одной точке . Непрерывна в области своего определения как элементарная функция. В точке терпит разрыв. Установим его характер: , поэтому – точка разрыва 2-го рода, а прямая – вертикальная асимптота графика функции при . Горизонтальные асимптоты: – горизонтальная асимптота при ; – горизонтальная асимптота при . Так как , то наклонных асимптот нет. С осью Оу график не пересекается, так как точка не принадлежит области определения функции, , что невозможно, поэтому с осью Ох пересечения тоже нет.

Исследуем функцию на экстремум и на монотонность: , поэтому точек экстремума нет, – интервалы убывания функции. _ _

Исследуем график функции на выпуклость и точки перегиба:

. Видим, что числитель всегда положителен, а знаменатель больше нуля при , и меньше нуля при , то есть распределение знаков следующее: – +

Точек перегиба нет, так как , – интервал выпуклости вверх, – интервал выпуклости вниз.

Строим график функции, используя все полученные результаты.

у

О х

-1

Рассмотрим теперь основные элементарные функции и установим их свойства.