Условия постоянства, возрастания и убывания функции

Теорема 1 (условие постоянства функции). Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была постоянной на Х, необходимо и достаточно условие внутри Х.

Доказательство. Необходимость.

Пусть на промежутке Х. Тогда внутри Х , то есть условие теоремы выполнено.

Достаточность.

Зафиксируем точку и возьмем произвольную точку . К отрезку применим формулу Лагранжа (6.2) (это можно сделать, так как на этом отрезке функция непрерывна и внутри него имеет конечную производную по условию теоремы), получим , так как внутри Х, а . Отсюда следует, что , т.е. постоянна на Х. Теорема доказана.

Теорема 2 (условие монотонности функции). Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него конечную производную . Для того чтобы была на Х неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно условие внутри Х.

Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей функции.

Необходимость. Пусть функция не убывает на Х. Возьмем внутри промежутка Х произвольную точку х и . Тогда и, переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим .

Достаточность. Пусть внутри Х. Возьмем произвольные точки , и применим формулу Лагранжа (6.2) на отрезке : , так как . Поэтому , то есть функция является неубывающей.

Аналогично рассматривается случай невозрастающей функции. Теорема доказана.

Теорема 3 (достаточное условие строгой монотонности функции). Если функция определена и непрерывна на промежутке Х, внутри него имеет конечную производную и всюду внутри Х , то строго возрастает (убывает) на Х.

Доказательство. Возьмем произвольные точки , и применим к на отрезке формулу Лагранжа (6.2): , где . Поскольку , из условия следует, что , то есть строго возрастает, а из условия следует, что , то есть строго убывает. Теорема доказана.

Замечание. Условие не является необходимым для строгого возрастания (убывания) функции . Например, для функции в точке , в то же время эта функция строго возрастает на всей числовой прямой. Вообще, если обращается в нуль в конечном числе точек, а в остальных точках сохраняет знак, то – строго монотонная функция. Для доказательства этого достаточно применить формулу Лагранжа к промежуткам между соседними нулями производной.

Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в точке , если существует окрестность точки такая, что функция определена в этой окрестности и знак приращения функции в этой окрестности совпадает со знаком (противоположен знаку) приращения аргумента.

		Если , то для , для , поэтому функция возрастает в точке .

Теорема 4 (достаточное условие монотонности функции в точке). Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке положительную производную , то функция возрастает в точке . Если же , то убывает в точке .

Доказательство. В силу теоремы 1 § 2

, где при . Поскольку при , а , существует такое, что при или . Если , то в окрестности , откуда и знак совпадает со знаком , т.е. функция возрастает в точке . Если , то , откуда и знак противоположен знаку , т.е. функция убывает в точке . Теорема доказана.

Пример. Найдем интервалы монотонности функции .

Решение. Найдем область определения функции: функция существует, когда и , то есть . Далее, = , в области определения существует. Отметим на числовой прямой область определения функции и точку , в которой производная равна нулю. После этого определим в каждом из полученных промежутков знак производной с помощью пробных точек: , .

– – +

0 1 е

Видим, что функция убывает на интервалах (0; 1) и (1; е), возрастает на интервале .