![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1 (условие постоянства функции). Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него конечную производную
. Для того чтобы
была постоянной на Х, необходимо и достаточно условие
внутри Х.
Доказательство. Необходимость.
Пусть на промежутке Х. Тогда внутри Х
, то есть условие теоремы выполнено.
Достаточность.
Зафиксируем точку и возьмем произвольную точку
. К отрезку
применим формулу Лагранжа (6.2) (это можно сделать, так как на этом отрезке функция
непрерывна и внутри него имеет конечную производную по условию теоремы), получим
, так как
внутри Х, а
. Отсюда следует, что
, т.е. постоянна на Х. Теорема доказана.
Теорема 2 (условие монотонности функции). Пусть функция определена и непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него конечную производную
. Для того чтобы
была на Х неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно условие
внутри Х.
Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей функции.
Необходимость. Пусть функция не убывает на Х. Возьмем внутри промежутка Х произвольную точку х и
. Тогда
и, переходя в последнем неравенстве к пределу при
, получим
.
Достаточность. Пусть внутри Х. Возьмем произвольные точки
,
и применим формулу Лагранжа (6.2) на отрезке
:
, так как
. Поэтому
, то есть функция
является неубывающей.
Аналогично рассматривается случай невозрастающей функции. Теорема доказана.
Теорема 3 (достаточное условие строгой монотонности функции). Если функция определена и непрерывна на промежутке Х, внутри него имеет конечную производную
и всюду внутри Х
, то
строго возрастает (убывает) на Х.
Доказательство. Возьмем произвольные точки ,
и применим к
на отрезке
формулу Лагранжа (6.2):
, где
. Поскольку
, из условия
следует, что
, то есть
строго возрастает, а из условия
следует, что
, то есть
строго убывает. Теорема доказана.
Замечание. Условие не является необходимым для строгого возрастания (убывания) функции
. Например, для функции
в точке
, в то же время эта функция строго возрастает на всей числовой прямой. Вообще, если
обращается в нуль в конечном числе точек, а в остальных точках сохраняет знак, то
– строго монотонная функция. Для доказательства этого достаточно применить формулу Лагранжа к промежуткам между соседними нулями производной.
Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) в точке
, если существует окрестность
точки
такая, что функция определена в этой окрестности и знак приращения функции
в этой окрестности совпадает со знаком (противоположен знаку) приращения аргумента.
![]() | |||
| |||
Теорема 4 (достаточное условие монотонности функции в точке). Если функция определена в некоторой окрестности точки
и имеет в этой точке положительную производную
, то функция
возрастает в точке
. Если же
, то
убывает в точке
.
Доказательство. В силу теоремы 1 § 2
, где
при
. Поскольку
при
, а
, существует
такое, что
при
или
. Если
, то в окрестности
, откуда
и знак
совпадает со знаком
, т.е. функция
возрастает в точке
. Если
, то
, откуда
и знак
противоположен знаку
, т.е. функция
убывает в точке
. Теорема доказана.
Пример. Найдем интервалы монотонности функции .
Решение. Найдем область определения функции: функция существует, когда и
, то есть
. Далее,
=
, в области определения
существует. Отметим на числовой прямой область определения функции и точку
, в которой производная равна нулю. После этого определим в каждом из полученных промежутков знак производной с помощью пробных точек:
,
.
– – +
0 1 е
Видим, что функция убывает на интервалах (0; 1) и (1; е), возрастает на интервале .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 902 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!