Определение и свойства степени

Определение 1. Степенью числа а с натуральным показателем называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

. (13.1)

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:

. (13.2)

Заметим, что в определении 1 а – любое действительное число. Равенствами (13.1) и (13.2) степень определена на множестве N натуральных чисел.

Справедливы два основных свойства степени:

,

т.е. при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Далее степень определяется на множестве всех целых чисел.

Определение 2. Если , то N.

Проверка двух основных свойств степени проводится без труда. Например,

.

Чтобы определить степень на множестве рациональных чисел, сначала определим арифметический корень n -ой степени.

Определение 3. Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -я степень которого равна а. Обозначается .

Докажем, что такое число существует и единственно. Для этого рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна и возрастает на , так как , причем . Кроме того, . Поэтому по теореме существования и непрерывности обратной функции на промежутке существует, возрастает и непрерывна обратная функция . Отсюда следует, что уравнение имеет единственный неотрицательный корень .

Определение 4. Если , то .

Этим равенством степень определена на множестве Q рациональных чисел. Основные свойства степени справедливы и на этом множестве. Например, справедливость равенства следует из того, что при взведении обеих частей этого равенства в степень nq получаем: , , т.е. одинаковые выражения.

Определим далее степень на множестве R всех действительных чисел. Для этого установим сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Для любого иррационального числа существует возрастающая последовательность рациональных чисел , сходящаяся к .

Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел . В силу свойства усиленной плотности множества R действительных чисел между числами и найдется рациональное число , то есть . Очевидно, что последовательность возрастающая и сходится к

• • • • • • • • •

по теореме о промежуточной переменной, так как . Лемма доказана.

Лемма 2. Если , то функция возрастает.

Доказательство. Заметим, что если , то и , где n – натуральное число. Это следует из возрастания функции (см. доказательство существования арифметического корня). Поэтому для имеем . Поскольку знаменатели рациональных чисел всегда можно сделать общими, утверждение доказано.

Лемма 3. Если , то .

Доказательство. Поскольку (см. доказательство леммы 2), положим , где . Тогда по неравенству Бернулли, или . Отсюда и по теореме о промежуточной переменной , то есть . Лемма доказана.

Лемма 4. Для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к нулю, последовательность (где ) сходится к 1, т.е. .

Доказательство. Возьмем произвольно. Поскольку по лемме 3 , , то найдется номер такой, что и , откуда . А так как при , то найдется номер , такой, что для будет , то есть и по лемме 2 , откуда и для . Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть и – произвольное иррациональное число. Тогда для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к , последовательность сходится к одному и тому же пределу.

Доказательство. Если , то , то есть утверждение справедливо.

Пусть . Рассмотрим сначала какую-нибудь неубывающую последовательность рациональных чисел , сходящуюся к . Такая последовательность существует по лемме 1. Тогда по лемме 2

(13.3)

Возьмем рациональное число . Тогда и по лемме 2 для всех n, т.е. последовательность (13.3) ограничена сверху. По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности существует , который мы обозначим буквой А. При этом , так как и последовательность (13.3) неубывающая.

Пусть теперь – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . Тогда последовательность рациональных чисел сходится к нулю и по лемме 4 . Следовательно, и утверждение леммы справедливо.

Рассмотрим теперь случай . Положим . Тогда и по уже доказанному для любой последовательности рациональных чисел , , существует один и тот же предел . Отсюда .

Лемма доказана.

Определение 5. Пусть – произвольное иррациональное число, – любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к , . Тогда полагают

. (13.4)

Заметим, что формула (13.4) справедлива и в случае, когда – рациональное число. Тогда и . Таким образом, формула (13.4) имеет место для любого действительного числа .

Теорема 1. Справедливы равенства

, (13.5)

, (13.6)

где , а х, у – любые действительные числа.

Доказательство. Пусть , где и – последовательности рациональных чисел. Поскольку для рациональных х и у равенство (13.5) справедливо, имеем и в пределе при .

Докажем теперь (13.6). Имеем . Переходя к пределу при , получим :

(непрерывность обратной функции, т.е. ) = (см. (13.4)) = = (см. (13.4)) = ,

(см. (13.4)) = = (непрерывность показательной функции) = , поэтому . Теорема доказана.

Замечание. Аналогично можно доказать, что , где – любые действительные числа.