![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 1. Степенью числа а с натуральным показателем называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:
. (13.1)
Степенью числа а с показателем 1 называется само число а:
. (13.2)
Заметим, что в определении 1 а – любое действительное число. Равенствами (13.1) и (13.2) степень определена на множестве N натуральных чисел.
Справедливы два основных свойства степени:
,
т.е. при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, при возведении степени в степень показатели перемножаются.
Далее степень определяется на множестве всех целых чисел.
Определение 2. Если , то
N.
Проверка двух основных свойств степени проводится без труда. Например,
.
Чтобы определить степень на множестве рациональных чисел, сначала определим арифметический корень n -ой степени.
Определение 3. Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n -я степень которого равна а. Обозначается .
Докажем, что такое число существует и единственно. Для этого рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна и возрастает на
, так как
, причем
. Кроме того,
. Поэтому по теореме существования и непрерывности обратной функции на промежутке
существует, возрастает и непрерывна обратная функция
. Отсюда следует, что уравнение
имеет единственный неотрицательный корень
.
Определение 4. Если , то
.
Этим равенством степень определена на множестве Q рациональных чисел. Основные свойства степени справедливы и на этом множестве. Например, справедливость равенства
следует из того, что при взведении обеих частей этого равенства в степень nq получаем:
,
, т.е. одинаковые выражения.
Определим далее степень на множестве R всех действительных чисел. Для этого установим сначала несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Для любого иррационального числа существует возрастающая последовательность рациональных чисел
, сходящаяся к
.
Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел
. В силу свойства усиленной плотности множества R действительных чисел между числами
и
найдется рациональное число
, то есть
. Очевидно, что последовательность
возрастающая и сходится к
• • • • • • • • •
по теореме о промежуточной переменной, так как
. Лемма доказана.
Лемма 2. Если , то функция
возрастает.
Доказательство. Заметим, что если , то и
, где n – натуральное число. Это следует из возрастания функции
(см. доказательство существования арифметического корня). Поэтому для
имеем
. Поскольку знаменатели рациональных чисел всегда можно сделать общими, утверждение доказано.
Лемма 3. Если , то
.
Доказательство. Поскольку (см. доказательство леммы 2), положим
, где
. Тогда
по неравенству Бернулли, или
. Отсюда
и по теореме о промежуточной переменной
, то есть
. Лемма доказана.
Лемма 4. Для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к нулю, последовательность
(где
) сходится к 1, т.е.
.
Доказательство. Возьмем произвольно. Поскольку по лемме 3
,
, то найдется номер
такой, что
и
, откуда
. А так как
при
, то найдется номер
, такой, что для
будет
, то есть
и по лемме 2
, откуда
и
для
. Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть и
– произвольное иррациональное число. Тогда для любой последовательности рациональных чисел
, сходящейся к
, последовательность
сходится к одному и тому же пределу.
Доказательство. Если , то
, то есть утверждение справедливо.
Пусть . Рассмотрим сначала какую-нибудь неубывающую последовательность рациональных чисел
, сходящуюся к
. Такая последовательность существует по лемме 1. Тогда по лемме 2
(13.3)
Возьмем рациональное число . Тогда
и по лемме 2
для всех n, т.е. последовательность (13.3) ограничена сверху. По теореме о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности существует
, который мы обозначим буквой А. При этом
, так как
и последовательность (13.3) неубывающая.
Пусть теперь – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к
. Тогда последовательность рациональных чисел
сходится к нулю и по лемме 4
. Следовательно,
и утверждение леммы справедливо.
Рассмотрим теперь случай . Положим
. Тогда
и по уже доказанному для любой последовательности рациональных чисел
,
, существует один и тот же предел
. Отсюда
.
Лемма доказана.
Определение 5. Пусть – произвольное иррациональное число,
– любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к
,
. Тогда полагают
. (13.4)
Заметим, что формула (13.4) справедлива и в случае, когда – рациональное число. Тогда
и
. Таким образом, формула (13.4) имеет место для любого действительного числа
.
Теорема 1. Справедливы равенства
, (13.5)
, (13.6)
где , а х, у – любые действительные числа.
Доказательство. Пусть , где
и
– последовательности рациональных чисел. Поскольку для рациональных х и у равенство (13.5) справедливо, имеем
и в пределе при
.
Докажем теперь (13.6). Имеем . Переходя к пределу при
, получим
:
(непрерывность обратной функции, т.е.
) =
(см. (13.4)) =
=
(см. (13.4)) =
,
(см. (13.4)) =
= (непрерывность показательной функции) =
, поэтому
. Теорема доказана.
Замечание. Аналогично можно доказать, что
, где
– любые действительные числа.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1193 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!