Показательная функция. Определение 1. Функция вида называется показательной функцией

Определение 1. Функция вида называется показательной функцией.

Согласно §13 . Поскольку при а = 1 имеем , т.е. функция постоянная, будем предполагать в дальнейшем, что .

Теорема 1. Если , то функция строго возрастает, если , то строго убывает.

Доказательство. Пусть – произвольные действительные числа, , – рациональные числа. Пусть . В силу усиленной плотности множества R найдем рациональные числа . Начиная с некоторого (лемма 2) и , аналогично , поэтому , т.е. строго возрастает.

Если , то , поэтому , т.е. строго убывает. Теорема доказана.

Следствие. Показательная функция не имеет точек экстремума.

Теорема 2. Функция , , всюду непрерывна.

Доказательство. Пусть – произвольная точка, – произвольная

последовательность точек. Между числами и , и возьмем рациональные числа и , n = 1, 2, … соответственно (это можно сделать в силу усиленной плотности множества R). Тогда и . Поэтому по формуле (13.4) . Поскольку по теореме 1 при , а при , то по теореме о промежуточной переменной . В силу произвольности последовательности , сходящейся к , функция непрерывна в точке по Гейне. Теорема доказана.

Следствие. Кривая вертикальных асимптот не имеет.

Теорема 3. Если , то

1) ; 2) ; 3) .

Доказательство. Поскольку , можно записать , где . Тогда по неравенству Бернулли . Какое бы ни взять, найдется такое, что при выполняется неравенство (достаточно взять ). Поскольку – возрастающая функция, то при имеем , а это и означает, что , то есть 1) доказано.

Докажем 2). Имеем .

3) следует из 2) и строгого возрастания функции при . Теорема доказана.

Следствия. 1) Если , то , , .

Для доказательства достаточно рассмотреть . Тогда , .

2) Из 2) следует, что – горизонтальная асимптота при для и при для . Наклонных асимптот нет, так как при , при и . Аналогичные рассуждения проводятся и для .

3) область значений показательной функции – множество Это следует из теорем 3, 2 и 2-ой теоремы Больцано-Коши.

Поскольку , то кривая выпукла вниз на , точек перегиба нет.

График функции имеет вид:

у ,

,

О х