Асимптоты кривой

Понятие асимптоты кривой вводится для кривых, ветви которых уходят в бесконечность. Это может быть в случаях, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке.

Определение. Прямая линия называется асимптотой кривой , если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до этой прямой стремится к нулю при движении точки М вдоль какой-нибудь части кривой в бесконечность.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

1) Вертикальные асимптоты.

Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Расстояние МА от точки до прямой равно . тогда, когда или . Чтобы прямая была асимптотой кривой , нужно, по определению, чтобы при или при функция стремилась к или .

у

А М

х

О

Таким образом, чтобы найти вертикальные асимптоты, нужно исследовать поведение функции вблизи точек разрыва и границ области определения.

Пример 1. Найдем вертикальные асимптоты кривой .

Решение. Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки . Исследуем поведение функции при и : , . Отсюда следует, что прямая (ось Оу) – вертикальная асимптота. Кривая приближается к ней и слева, и справа.

2) Горизонтальные асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид . Расстояние МВ от точки до прямой равно . Чтобы это расстояние стремилось к нулю при или , нужно, чтобы или .

у

В у = А

М

О х

Таким образом, горизонтальные асимптоты могут быть только у кривых, заданных на неограниченном промежутке. Для их отыскания нужно найти пределы функции на бесконечности.

Пример 2.Найдем горизонтальные асимптоты кривой . Построим эту кривую.

Решение. Имеем , поэтому прямая (ось Ох) является горизонтальной асимптотой кривой и при , и при .

Так как , то функция убывает на интервалах и . Поскольку , то при и при , откуда следует, что – интервал выпуклости вверх кривой, а – интервал выпуклости вниз. Учитывая, что – вертикальная асимптота (см. пример 1), строим график.

у

О х

3) Наклонные асимптоты.

Наклонная асимптота имеет уравнение , где . Чтобы найти постоянные k и b, вычислим расстояние от точки до прямой . Это расстояние равно MN, где отрезок MN перпендикулярен прямой. Пусть МК – перпендикуляр к оси Ох. Тогда ,

у

К

N M

О х

, где . Угол , поэтому при или . Таким образом, условие

(*)

является необходимым и достаточным для того, чтобы прямая была асимптотой кривой . Найдем постоянные k и b. Из условия (*) следует, что

или ,

откуда

. (11.1)

Из условия (*) следует также, что .

Таким образом, чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно найти коэффициент k по формуле (11.1), подставить его в формулу

(11.2)

и найти коэффициент b. Если пределы в (11.1) и (11.2) существуют и конечны, причем , то существует и наклонная асимптота, ее уравнение .

Пример 3. Найдем наклонные асимптоты кривой .

Решение. Имеем , то есть и при , и при ; . Таким образом, – наклонная асимптота данной кривой и при , и при .