Степенная функция

Определение 1. Степенной функцией называется функция вида , где – любое действительное число.

Свойства степенной функции зависят от . Рассмотрим случай, когда – иррациональное число.

Область определения Если , то и непрерывна как сложная функция в силу непрерывности показательной и логарифмической функций.

При , поэтому функция непрерывна в точке справа. Следовательно, при вертикальных асимптот нет.

Если , то , то есть – вертикальная асимптота.

Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая.

Если , то , то есть горизонтальных асимптот нет.

Если , то – горизонтальная асимптота. Нетрудно показать, что наклонных асимптот нет.

При (0; 0) – точка пересечения с осями координат, при таких точек нет.

критических точек нет.

+ –

· ◦

0 0

, всюду возрастает в , всюду убывает в

точек перегиба нет.

+ – +

· · ◦

0 0 0

, выпукла вниз , выпукла вверх , выпукла вниз

у

,

– иррациональное

О 1 х