Вычисление производной второго порядка численными методами

Для вычисления требуется использовать интерполяционный многочлен приближающей ф-ции как минимум 2-ой степени:

Запишем инерполяц. многочлен в форме Ньютона:

y(x)≈φ(x)=y_i+(y_i+1-y_i)(x-x_i)/(x_i+1-x_i)+((y_i+2-y_i+1)/(x_i+2-x_i+1)-(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i))*(x-x_i)(x-x_i+1)/(x_i+2-x_i)

вычислим производную 1-го порядка

y’(x)≈φ’(x)=(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i)+((y_i+2-y_i+1)/(x_i+2-x_i+1)-(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i))(2x-x_i-x_i+1)/(x_i+2-x_i)

при этом xприн.[x_i;x_i+1]

При равностоящих узлах разбиения эта формула обеспечивает вычисление производной 1-го порядка с погрешностью 2-го порядка точности. Продифференцируем эту ф-лу ещё один раз

y’’(x)≈φ’’(x)=((y_i+2-y_i+1)/(x_i+2-x_i+1)-(y_i+1-y_i)/(x_i+1-x_i))2/(x_i+2-x_i)

Дя равностоящих узлов: =(y_i+2-2y_i+1+y_i)/Δx²

29.Численное интегрирование: основные понятия.

Summa(S )

Dx=x_i+1-x_i

Интеграл – сумма последовательности бесконечно большого количества бесконечно малых величин на некотором непрерывном участке графика функции. Либо как площадь фигуры заключенной между графиком функции и осью абсцисс.

Пусть ф-цияf(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьём [a,b] на части с произвольными точками. x₀=a; x₀<x₁<x₂<…<x_n=b

Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка. Далее выбираем произвольную точку. x_iприн[x_i;x_i+1]; i=0,1,2,…,n-1

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интеграла сумм при стремлении шага разбиения dx→0,т.е.:

F(b)-F(a) – формула Ньютона-Лейбница

Неопределенный интеграл – совокупность всех первообразных данной функции:

⨜f(x)dx=F(x)+c, где с – произвольная постоянная

F’(x)=f(x). если известна первообразная для функции f(x), то легко вычислить опрееленный интеграл аналитически F(b)-F(a)

Однако, если функция f(x) задана таблично, а не аналитически, то формулой Ньютона-Лейбница воспользоваться нельзя. Кроме того существуют множество функций, для которых элементарные функции первообразных просто не существуют. Такие интегралы называются неберущимися.

Например: 1.∫e^-x2dx – интеграл Пуассона(теория вероятности) 2.∫dx/ln(x) – интрегральный логарифм(теория чисел) 3.∫cos(x²)dx, ∫sin(x²)dx – интегралы Френеля 4..∫cos(x)dx/x – интегральныйcos ∫sin(x)dx/x – интегральный sin 5.∫e^xdx/x интегральная показательная функция и др.

В тех случаях когда имеют дело с неберущимися интегралами, используют формулу численного интегрирования.

30.Численное интегрирование: формулы прямоугольников

Пусть требуется вычислить определенный интеграл на отрезке [a,b]. Отрезок разбивают точками x₀,x₁,…,x_n таким образом, чтобы сформировать равномерную сетку разбиения с шагом h=x_i-x_i-1. При этом под интегральную функцию заменяют приближающей φ(x) так, чтобы:

1)φ(x) была близка к f(x).2)чтобы φ(x) легко вычислялась

; f(x)→ φ(x)

Как правило, подынтегральную функцию заменяют на интерполяционный многочлен:

φ(x)= _ixⁱ_i, причем коэф. a_i определяется из условия: φ(x_i)=f(x_i) в узлах сетки. Т.е. f(x)= φ(x)+k(x,a), где k – некоторый остаточный член интерполяции.

Заменим функцию f(x) полиномом Лагранжа нулевой степени, т.е φ(x)=a_i=const

Рассмотрим отрезок [x_i,x_i-1]

Середина отрезка =(x_i+x_i-1)/2. Проведем прямую линию, параллельную ox. Умножим f(x_icp)*h и возьмём сумму:

(x_icp)*h - формула средних прямоугольников i=0,1,…n

1.Ф-ла правосторонних прямоугольников:

f(x₀)*h+ f(x₁)*h+…+ f(x_n-1)*h

(x)dx≈ (x_i)*h последняя точка не учитывается!

2. Формула левосторонних прямоугольников

(x)dx≈ (x_i)*h_i=h* (x_i)

31. Численное интегрирование Метод Рунге – Ромберга – Ричардсона

Формулы численного дифференцирования позволяют получить тем более точный результат, чем большее число узлов в них используется. Однако формулы становятся довольно громоздкими и их практическое применение не всегда оправдано. Тем более, что существует способ повышения точности без значительного усложнения вычислений. Этот способ известен под общим названием метода Рунге –Ромберга – Ричардсона.