Численное интегрирование формула Симпсона

Правило Симпсона – один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования. Он аналогичен правилу трапеций, поскольку также базируется на разбиении общего интервала интегрирования на более мелкие отрезки. Однако его отличие в том, что для вычисления площади через каждые три последовательные ординаты разбиения проводится квадратная парабола.

I

Здесь n - четное число. Эта формула гораздо точнее формулы трапеций. Так, при интегрировании многочленов степени не выше третьей метод Симпсона дает точные значения интеграла.

34)Численное интегрирование: Методы Монте-Карло

35) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Постановка задач Коши

36) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Метод Эйлера

Неявный метод Эйлера

Если использовать для приближения выч производной

)

– В явной форме

Уравнение в неявной форме

Метод Эйлера- Коши 1

Вычислить значение у на отрезке от 0 до 0.5 Y’

Начальные условия Хо=0 и Yo=0

1=(x1=0,1)

Аналогично получим значения в остальных узлах

k	x	y
	0.1	0.0005
	0.2	0.00305
	0.3	0.009813
	0.4	0.023408
	0.5	0,047024

Улучшенный метод Эйлера

В произвольной точке

Решение задачи

37.Метод Эйлера – Коши

ŷ_k+1=y_k+hf(x_k,y_k) - нелинейное относительно y_k+1 уравнение.

В данном методе на каждом интервале расчет проводится в два этапа. На первом (этап прогноза) определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера, на втором (этап коррекции) уточняется значение решения на правом конце с использованием полусуммы тангенсов углов наклона на концах интервала

ŷ_k+1=y_k+hf(x_k,y_k)

y_k+1=y_k+(h(f(x_k,y_k)+f(x_k+1,y^(i-1)_k+1)))/2

x_k+1=x_k+h

Этот метод имеет второй порядок точности.

Неявный метод Эйлера – Коши

Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности.

y_k+1=y_k+(h(f(x_k,y_k)+f(x_k+1,y^(i-1)_k+1)))/2

x_k+1=x_k+h