Численное дифференцирование. Погрешность численного дифференцирования

Формулы численного дифференцирования в основном используются при нахождении производных от функции y=f(x), заданной в табличном виде. Например: требуется определить параметры функции управления регулятором температуры печи с использованием дифференциальной термопары, определяют экспериментально функцию изменения требуемого параметра от времени (функция разгона) – в табличном виде.

Р₁(х)=К¹_об*е^-τх, Р₂(х)=К²_об/(Т*х+1) отсюда сл.- Р=Р1*Р2= К_об* е^-τх/(Т*х+1)

Исходная функция y_i=f(x_i), где i=0,1,…,n, заменяется на отрезок [x_i,x_i+1] некоторой приближающей функции, легко вычисляемой φ(x,{a_i}), где a_i– множественный набор коэффициентов; при этом y= φ(x,{a_i})+k(x), где k(x) – некоторый остаточный член приближения(задает погрешность вычислений в приближении, что y_i≈ φ_i(xi,{a_i}), {a_i}-характеризует приближающий интерполяционный многочлен.

Наиболее часто интерполяционный многочлен записывают в форме Ньютона с использованием разделенных разностей

Вычисление погрешности при числ. диф-ии ф-ции.

Раскладываем в ряд Тейлора функцию f(x+Δх) в окрестности f(x-Δx):

f’(x)≈(1/2Δx)[(f(x)+f’(x)(Δx)/1!+ f’’(x)(Δx)²/2!+ f’’’(x)(Δx)³/3!+…)-f(x)- f’(x)(Δx)/1!+ f’’(x)(Δx)²/2!- f’’’(x)(Δx)³/3!+…)]= … раскрыв скобки получим, что все члены, содержащие производную четного порядка сократятся. =f’(x)+ f’’’(x)(Δx)³/3!+…

из неё следует, что основной член погрешности пропорционален (Δx)², поэтому говорят, что формула вычисляется производной по симметричной схеме, имеет второй порядок точности относительно Δх. Чем меньше приращение Δх, тем точнее в общем случае вычисляется производная по любой схеме.