Необходимое усл-е экстремума

Для того, чтобы ф-ция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы её производная в этой точке равнялась 0 (f’(x₀)=0) или не существовала.

Точки, в кот.выполнено необх.усл-е экстремума,т.е. производная равна нулю или не сущ-ет, наз-ся критическими (или стационарными). Эти точки должны входить в обл.определения ф-ции.(Если в точке х₀ дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то в нек-ой окрестности этой точки выполнены условия тео-мы Ферма, и, следовательно, производная фун-и в этой точке равна нулю.Т.е.f’(x₀)=0. Но фун-я может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема.)

Первое достаточное условие экстремума. Теорема. Если при переходе через точку х₀ производная диф-мой фун-и y=f(x) меняет свой знак с плса на минус, то точка х₀ есть точка максимума фун-и y=f(x), а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство. Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале (а, х₀) производная положительна (f’ (x) >0), а в некотором интервале (х₀, b) – отрицательна (f’ (x) < 0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функции f(x) возрастает на интервале (а, х₀) и убывает на интервале (х₀, b). По определению возрастающей функции f(x₀) > f(x) при всех х принадлежащем (а, х₀), а по определению убывающей функции f(x) < f(x₀) при всех х принадлежащем (х₀, b), т.е. f(x₀)≥f(x) при всех х принадлежащем(а, b), следовательно, х₀ – точка максимума функции y=f(x).

Второе достаточное условие экстремума. Теорема. Если первая производная f’(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке х₀, а вторая производная в этой точке f”(x₀) положительна, то х₀ есть точка минимума функции f’(x); если f”(x₀) отрицательна, то в x₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть f’(x₀) =0, а f” (x₀) >0. Это означает, что f” (x) = (f’(x₀))’ >0 также и в некоторой окрестности точки х₀, т.е. f’(x) возрастает на некотором интервале (a, b), содержащую точку х₀. Но f’(x₀) =0, следовательно, на интервале (а, х₀) f’ (x) >0, т.е. f’ (x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, т.е. х₀ – точка минимума.

24. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).

Тео-ма (достаточное условие возр.фун-и). Если производная диф-мой фун-и положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возр.на этом промежутке. Док-во: Рас-трим два знач-я x₁ и x₂ на данном промежутке Х. Пусть x₂>x₁, x₁,x₂ принадл-ит Х.Докажем, что f(x₂)>f(x₁). f(x₂)-f(x₁)=f’(a)(x₂-x₁),где х₁< a <x₂ => f’(a)>0. Отсюда f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Тео-ма (достаточное условие убыв.фун-и). Если производная диф-мой фун-и отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

25. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.

Опр. Асимптотой гра-ка фун-и y=f(x) наз-ся прямая, обладающая тем свой-вом, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) определена на некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из переделов функции при х-> х₀ +0 (справа) равен бесконечности, т.е. lim при х стремящимся к х₀ –(+) 0 = бесконечность. Тогда прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Теорема 2. Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и сущ. конечный предел фун-и lim при х стремящимся к бесконечности f(x) = b. Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика фун-и y=f(x).

Теорема 3. Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы lim при х стремящ-ся к беско-ти f(x)/x = k и lim прия х стремящ-ся к беско-ти [f(x) – kx] = b. Тогда прямая y=kх+b явл-ся наклонной асимптотой графика фун-и y=f(x).