![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если её приращение в этой точке
представимо в виде
, где А – некоторая константа.
, где
.
Иначе говоря, функция f дифференцируема в точке , если её приращение есть линейная функция относительно
с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем
.
Критерий дифференцируемости: пусть функция f(x) определена в некотором интервале (а, b) и , тогда функция f(x) дифференцируема в точке
тогда и только тогда, когда у неё в точке
существует производная.
Доказательство:
пусть функция f дифференцируема в точке
, тогда её приращение по определению представимо в виде:
.
, то есть производная существует.
Пусть у функции f(x) в точке
существует производная, то есть существует конечный предел
.
.
.
Теорема доказана.
Следствие: коэффициент А в представлении приращения дифференцируемой функции есть производная функции в точке .
Главная линейная относительно часть приращения линейной функции называется дифференциалом функции в точке
:
.
Теорема. Необходимое условие дифференцируемости: если функция дифференцируема в точке ,то она непрерывна в этой точке.
Доказательство: функция дифференцируема в точке , то есть:
. Покажем, что
.
.
Если покажем, что , то докажем непрерывность функции.
.
Класс дифференцируемых функций является подмножеством класса непрерывных функций.
Это условие достаточным не является.
Например, функция y=|x|. Эта функция непрерывна в точке х=0, но дифференцируемой в ней не является.
,
.
функция не дифференцируема в точке 0.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 1051 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!