Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции

Таблица производных простейших элементарных функций

Легко получить следующую таблицу производных основных элементарных функций, используя определение производной. Для более подробного изучения данного материала рекомендуем использовать, например, "Математический анализ" ч.1 В.А. Ильина, В.А. Садовничего, Бл.Х. Сендова.

1. (u ^a(x))' = a u ^a-1(x) u '(x), в частности,

(1 /u (x)) ' = -u' (x) /u 2(x), () ' = u' (x) / 2 ;

1. (log_a u (x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a¹1, u(x)>0, в частности, (ln u (x))' = u'(x)/ u (x);
2. (a ^{u (x)})' = a ^{u (x)}ln a u '(x) при 0<a¹1, в частности, (e ^{u (x)})' = u'(x)e ^{u (x)};
3. (sin u (x))' = cos u (x) u '(x);
4. (cos u (x))' = -sin u (x) u '(x);
5. (tg u (x))' = u '(x)/cos² u (x) x¹ p/2+p n, n=0,+-1,...;
6. (ctg u (x))' = - u '(x)/sin² u (x) x¹ p n, n=0,+-1,...;
7. (arcsin u (x))' = u '(x)/ , -1< u (x)<1;
8. (arccos u (x))' = - u '(x)/ , -1< u (x)<1;
9. (arctg u (x))' = u '(x)/(1+ u ²(x));
10. (arcctg u (x))' = - u '(x)/(1+ u ²(x)).

Введем гиперболические функции:

sh x = (1 / 2)(e^x-e^-x)- гиперболический синус;

ch x = (1 / 2)(e^x+e^x)- гиперболический косинус;

th x = sh x/ ch x -гиперболический тангенс;

cth x = ch x/ sh x - гиперболический котангенс.

Из определения гиперболических функций элементарно вытекают следующие формулы для нахождения их производных.

1. (sh x) ' = ch x;
2. (ch x) ' = sh x;
3. (th x) ' = 1 / ch² x;
4. (cth x) ' = -1 / sh² x.

Пример 7. Найти y', если

1. y(x) = x³arcsin x.

1. y(x) = ln sin (x²+1).

y' = (2 x cos(x 2+1)) / sin(x 2+1) = 2 x ctg (x 2+1)

Замечание. Производная любой элементарной функции является элементарной функцией, то есть операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.
Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.