Обратная функция. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и ее значения принадлежат отрезку [c, d]

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ] и ее значения принадлежат отрезку [ c, d ]. Если (символ читается «существует одно и только одно») такое, что y = f (x), то говорят, что на отрезке [ c, d ] определена функция , обратная к функции f (x).

Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме .

Основное свойство обратной функции имеет вид

.

Теорема. Пусть f (x) строго монотонно возрастает и непрерывна на [ a, b ]. Тогда на интервале [ c, d ], где c = f (a), d = f (b) существует непрерывная строго монотонно возрастающая обратная функция .

11 вопрос

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

8Геометрический смысл производной:

Понятия производной в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Касательной называется предельное положение секущей. -если конечный предел, это означает, что конечная производная f‘(x₀)=k. Т.е. если у ф-и f точке x₀ конечная производная, то ур-е касательной к графику имеет вид

Значение производной у’ при данном значении аргумента х = тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ох касательной к графику у(х) в соответствующей заданной точке М(х,у).

Физический смысл производной.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окресности точки . Пусть Тогда , будет равно изменению у на отрезке , отнесенному к ед-це измерения переменной х, назовем значением средней скорости изменения у на отрезке относительно х. Если сущ-т предел , т.е произвоная наз-ся скоростью изменения переменной у отн-но х в точке х₀.

9Свойства производной. Таблица производных элементарных функций.

Таблица

. Одно Док-во.

Свойства.

Док-во одного св-ва.

При получим . Т.к. существует предел при , то сущ-т производная , причем . Свойство доказано.

10Производная обратной и сложной функции.

Если сущ-т производная ф-и y=f(x) и f(x) монотонна, f’(x)=0, тогда производная , то производная существует и равна

Док-во:

Если сущ-т производная ф-и и тогда сущ-т

Док-во:

12Производная ф-и заданной неявно и параметрически.

– неявная ф-я

Пример:

Пример:

Параметрическая:

t – параметр

Пример:

– ур-е окружности в параметрич. виде

Пример:

13Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть ф-я f(x), определенная на интервале (a.b), имеет в каждой точке производную f’(x) функции f(x) существует производная, то она наз-ся второй производной(или произ-й 2-го порядка) ф-и f и обозн-ся f’’ . Если опустить обозн-е аргумента , аналогично опред-ся произв. (n=1,2,…..,n).

Если сущ-т произв. порядка n-1, то

Ф-я наз-ся n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутко она имеет непрерывные п

р