![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ] и ее значения принадлежат отрезку [ c, d ]. Если (символ
читается «существует одно и только одно») такое, что y = f (x), то говорят, что на отрезке [ c, d ] определена функция
, обратная к функции f (x).
Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме .
Основное свойство обратной функции имеет вид
.
Теорема. Пусть f (x) строго монотонно возрастает и непрерывна на [ a, b ]. Тогда на интервале [ c, d ], где c = f (a), d = f (b) существует непрерывная строго монотонно возрастающая обратная функция .
11 вопрос
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.
Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f (x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:
Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.
Отсюда видно, что искомая производная равна
8Геометрический смысл производной:
Понятия производной в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Касательной называется предельное положение секущей. -если
конечный предел, это означает, что
конечная производная f‘(x0)=k. Т.е. если у ф-и f точке x0
конечная производная, то ур-е касательной к графику имеет вид
Значение производной у’ при данном значении аргумента х = тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ох касательной к графику у(х) в соответствующей заданной точке М(х,у).
Физический смысл производной.
Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окресности точки . Пусть
Тогда
, будет равно изменению у на отрезке
, отнесенному к ед-це измерения переменной х, назовем значением средней скорости изменения у на отрезке
относительно х. Если сущ-т предел
, т.е произвоная
наз-ся скоростью изменения переменной у отн-но х в точке х0.
9Свойства производной. Таблица производных элементарных функций.
Таблица
. Одно Док-во.
Свойства.
Док-во одного св-ва.
При получим
. Т.к. существует предел при
, то сущ-т производная
, причем
. Свойство доказано.
10Производная обратной и сложной функции.
Если сущ-т производная ф-и y=f(x) и f(x) монотонна, f’(x)=0, тогда производная , то производная существует и равна
Док-во:
Если сущ-т производная ф-и и
тогда сущ-т
Док-во:
12Производная ф-и заданной неявно и параметрически.
– неявная ф-я
Пример:
Пример:
Параметрическая:
t – параметр
Пример:
– ур-е окружности в параметрич. виде
Пример:
13Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть ф-я f(x), определенная на интервале (a.b), имеет в каждой точке производную f’(x) функции f(x) существует производная, то она наз-ся второй производной(или произ-й 2-го порядка) ф-и f и обозн-ся f’’
. Если опустить обозн-е аргумента
, аналогично опред-ся произв.
(n=1,2,…..,n).
Если сущ-т произв. порядка n-1, то
Ф-я наз-ся n раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутко она имеет непрерывные п
р
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!