Признак монотонности функции. Условия существования точек локального экстремума

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение. Функция называется строго возрастающей (убывающей) в интервале (a, b), если выполняется (или ) (сравните с понятием монотонного возрастания и убывания).

Следующая теорема позволяет найти интервалы возрастания и убывания функций с помощью ее производной.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема в (a,b):

1. Если f(x) монотонно возрастает в (a,b), то , .

2. Если , , то f(x) монотонно возрастает в (a,b).

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций. Итак, в интервалах возрастания или убывания функции знак производной не меняется.

Теорема: Если функц. f(x) возрастает (убывает) на [a,b], то f’(x) , (f’(x) ).

Док-во:

Пусть тогда если => => возрастающая. .

Условия существования точек локального экстремума.

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, , если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

Значение в этом случае называется минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума называются экстремальными точками, а соответствующие значения функции – экстремумами.

Функция, определенная на отрезке , имеет там только одно наиболь­шее и наименьшее значения, но может иметь несколько максимумов и мини­му­мов. При этом некоторые максимумы могут быть меньше минимумов

Теорема. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и f ‘’(x₀) существует. Тогда, если

f ‘’(x₀)>0, то x₀ - точка минимума, а если f ‘’(x₀)<0, то x₀- точка максимума

Определение. Точка x₀, в которой f(x₀) непрерывна, а y=f’(x)=0 или не существует, называется критической точкой этой функции.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если в точке х=х₀ функции f(x) достигает экстремума, то f ’(x₀)=0

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна в окрестности U(x0) критической точки x0 и дифференцируема в U(x0) кроме быть может самой точке x0. Тогда

1) если в U(x0) f ‘ (x)>0 при х<x0 и f ‘(x)<0 при x>x0, то x0 ¾ точка максимума;

2) если в U(x0) f ‘ (x)<0 при х<x0 и f ‘(x)>0 при x>x0, то x0 ¾ точка минимума;

3) если в U(x0) f ‘ (x)>0 или f ‘(x)<0 при x¹ x0, то в x0 ¾ экстремума нет.