Условия выпуклости и вогнутости функции. Асимптоты функции

Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется вогнутой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вниз") Рис. 4.4.

Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется выпуклой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вверх") Рис. 4.5.

Теорема. Если f ‘’(x) > 0 на интервале (a;b), то на этом интервале функция f(x) вогнута ("выпуклая вниз"). Если f ‘’(x) < 0 на интервале (a;b), то на этом интервале функция f(x) выпукла ("выпуклая вверх").

Опред.: Множество точек, где f ‘’(x₀) = 0 называюся точкой перегиба.

Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и график функции переходит от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот.