Определение производной функции. Производная и дифференциал. Связь производной и дифференциала

Пусть в некоторой окрестности точки и в самой точке определена функция .

Приращением аргумента х в точке называется разность .

Приращением функции в точке называется разность .

Это приращение зависит от двух аргументов и Dx. Геометрически Dx и Df означают изменения абсциссы и ординаты точки на графике при перемещении из точки в точку

.

Определение. Если существует предел

то это число называется производной функции в точке .

Этот предел можно записывать также в виде

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если она имеет конечную производную в этой точке.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

?

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)

http://ios.sseu.ru/public/eresmat/course1/razd4z1/par4_7z1.htm

http://91.progressor.ru/Education/MatAn/Listok21.htm