Нахождение определенного интеграла по частям

Теорема. Пусть функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , тогда верно равенство

.

Это равенство в сокращенном виде можно записать и так

.

1 вопрос

Множество(математическая аксиома)- совокупность элементов, имеющих общие свойства.

-счётные(м\у мн-вом и элементами можно ставить соответствие)

-ограниченные(сверху, снизу, просто ограниченные)

-неограниченные

-несчётные

Числовые множества: множество, элементами которого являются числа

Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней.

величина У наз-ся функцией переменной величины Х(аргумент), если каждому из тех значений, которые может принимать Х, соответствует одно или несколько значений У.

· Функция называется нечётной, если справедливо равенство

график симметричен началу координат

· Функция называется чётной, если справедливо равенство

график симметричен оси У

Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо

.

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2 вопрос

Функция одной переменной – функция, которая имеет только один аргумент.

Предел функции- (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Свойства предела функции:

Пусть даны функции и .

· Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

· Предел суммы равен сумме пределов:

· Предел разности равен разности пределов:

· Предел произведения равен произведению пределов:

· Предел частного равен частному пределов.

3 вопрос

Непрерывность функции в точке

Функция называется непрерывной в точке х=а, если:

1)при х=а функция имеет определенное значение у=в

2)при х→а функция имеет предел тоже равный в.

Точки разрыва функции:

Определение устранимого разрыва первого рода.

В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке,то есть .

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).

В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку в этом случае называют точкой скачка функции.

Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

4 вопрос

Непрерывность сложной функции.

Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

(2)

где .

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что

(2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве определена сложная функция , причём

,

где , т.е.

.

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке