Асимптоты функции

Определение. Прямая L называется асимптотой для кривой k, если расстояние от точки M на k до L стремится к нулю при удалении M в бесконечность (т.е. при |OM| ®¥)

Опр1: Если , то прямая x=a назыв вертикальной асимптотой.

Опр2: Если , то прямая y=b назыв горизонтальной асимптотой

Опр3: Если , , то прямая y=kx+b назыв№ наклонной асимптотой.

21.Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла.

Определение. Криволинейной трапецией называется область на плоскости , ограниченная осью , прямыми , , где и графиком непрерывной на функции (см. рис 1).

Для простоты можно считать, что , т.е. трапеция расположена выше оси . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти, заменив ее суммой площадей прямоугольников с малыми основаниями и высотами, равными значениям функции в некоторых выбранных точках.

Определение. Разбиением отрезка на частей называется набор чисел из этого отрезка, где и .

В каждом отрезке (элементарном участке) разбиения выберем некоторую точку , где

Такое разбиение будем обозначать буквой , а длину элементарного участка через . Пусть на отрезке определена некоторая функция .

Определение. Интегральной суммой для функции , построенной по разбиению отрезка , называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на длины элементарных участков.

Такую сумму будем обозначать через

.

Если , то интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами (см. рис 1), т.е. приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям , у которых максимальный стремится к нулю, т.е.

.

Если на , то этот интеграл выражает точную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Формула Ньютона – Лейбница

Пусть интегрируема в отрезке и . Определим новую функцию для с помощью соотношения

.

Теорема Если функция непрерывна в , то функция является первообразной для функции в , т.е. в этом интервале .