Понятие множества. Числовые множества. Окрестность точки. Понятие функции. Четные, нечетные. Периодические и монотонные функции

Множеством будем называть совокупность элементов, имеющие общие свойства.

Объекты, входящие в данное множество, будем называть элементами множества.

Множества, элементы которых являются числами, называются числовыми. Приведём основные примеры числовых множеств.

Множество натуральных чисел обозначается через ,

Во множестве действуют операции сложения и умножения.

Множество целых чисел обозначается через Z: .

Во множестве Z действуют операции сложения, вычитания и умножения.

Множество рациональных чисел обозначается через Q:

.

В множестве Q действуют все четыре арифметические операции.

Мно­жество всех действительных чисел – как рациональных Q, так и иррациональных I, обозначается через R. .В нём выполняются все арифметические действия и извлекаются корни любой степени из неотрицательных чисел.

Эти множества являются подмножествами друг друга в следующем порядке .

Определение. Функцией f с областью определения D и областью значений Е называется некоторое отображение из D в Е, т. е. соответствие, при котором каждому элементу сопоставляется единственный элемент

Четные и нечетные функции. Пусть задана функция с областью определения D. Функция называется четной, если выполняется условие

функция f(x) называется нечетной, если

Геометрически четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если для функции f(x) T , такое что для всех x D(f), выполняется равенство: f(x)=f(x+T), T-период, то функция f(x) назыв периодической с периодом Т.

Если Т период для функции f(x), то n*T также явл периодом, n

Из тригонометрии известно, что периоды функции и равны , а периоды равны .

3.Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва функции.

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) существует ;

2) существует ;

3) .

В символической форме это определение записывается так:

.

Функция называется непрерывной в точке слева (справа), если выполняются три условия:

1) ;

2) .

Очевидно, что функция является непрерывной в точке в том и только в том случае, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

График непрерывной функции представляет из себя непрерывную линию.

Теорема Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции

1) , 2) , 3) при .

также непрерывны в точке .