Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши

Теорема существования и единственности. Уравнение вида

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Часто это уравнение записывается в виде , разрешенном относительно . Так, уравнение есть уравнение первого порядка, здесь . Функция , где c – произвольная постоянная, удовлетворяет уравнению, т.е. является его решением.

Гиперболы, полученные при конкретных c, являются интегральными кривыми, а совокупность всех интегральных кривых образует однопараметрическое семейство интегральных кривых (рис. 34). Константа c является параметром.

Рис. 34

Из семейства интегральных кривых можно выбрать конкретную кривую (частное решение), проходящую через точку , . В общее решение подставим координаты точки M и найдем соответствующее значение , с =6. Кривая – искомое решение. Рассмотренная задача является задачей Коши.

Задача Коши для уравнения . Найти решение y = y (x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям или .

Встает вопрос: всегда ли существует решение задачи Коши? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема (существования и единственности). Если правая часть уравнения – функция f (x, y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, то какова бы ни была внутренняя точка этой области, данное уравнение имеет единственное решение y = y (x), причем при , .

В рассмотренном ранее примере , правая часть удовлетворяет условиям теоремы всюду, кроме прямой x =0, область D – вся плоскость, кроме x = 0. Точка =(2, 3) принадлежит области D, через эту точку проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Общим решением уравнения является функция y = y (x, c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной с, удовлетворяющая условиям:

1) при любых значениях постоянной c функция y = y (x, c) является решением уравнения;

2) для любой точки , лежащей внутри области D, существует единственное значение постоянной такое, что .

Частным решением уравнения является решение, полученное из общего y = y (x, c), при конкретном значении .

Общее решение дифференциального уравнения, найденное в виде (не разрешенном относительно y), называют общим интегралом уравнения.