![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема существования и единственности. Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Часто это уравнение записывается в виде , разрешенном относительно
. Так, уравнение
есть уравнение первого порядка, здесь
. Функция
, где c – произвольная постоянная, удовлетворяет уравнению, т.е. является его решением.
Гиперболы, полученные при конкретных c, являются интегральными кривыми, а совокупность всех интегральных кривых образует однопараметрическое семейство интегральных кривых (рис. 34). Константа c является параметром.
Рис. 34
Из семейства интегральных кривых можно выбрать конкретную кривую (частное решение), проходящую через точку ,
. В общее решение
подставим координаты точки M и найдем соответствующее значение
, с =6. Кривая
– искомое решение. Рассмотренная задача является задачей Коши.
Задача Коши для уравнения . Найти решение y = y (x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
или
.
Встает вопрос: всегда ли существует решение задачи Коши? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема (существования и единственности). Если правая часть уравнения – функция f (x, y) и ее частная производная
определены и непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y, то какова бы ни была внутренняя точка
этой области, данное уравнение имеет единственное решение y = y (x), причем при
,
.
В рассмотренном ранее примере , правая часть
удовлетворяет условиям теоремы всюду, кроме прямой x =0, область D – вся плоскость, кроме x = 0. Точка
=(2, 3) принадлежит области D, через эту точку проходит единственная интегральная кривая уравнения.
Общим решением уравнения является функция y = y (x, c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной с, удовлетворяющая условиям:
1) при любых значениях постоянной c функция y = y (x, c) является решением уравнения;
2) для любой точки , лежащей внутри области D, существует единственное значение постоянной
такое, что
.
Частным решением уравнения является решение, полученное из общего y = y (x, c), при конкретном значении
.
Общее решение дифференциального уравнения, найденное в виде (не разрешенном относительно y), называют общим интегралом уравнения.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 233 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!