Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида , где p (x) и q (x) – заданные непрерывные функции, называется линейным (функции y (x) и входят в уравнение лишь в первой степени).

Решение этого уравнения будем искать в виде или, коротко, , тогда ; подставив в уравнение, получим

.

Выберем множитель u (x) так, чтобы , тогда исходное уравнение сводится к интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными:

, (1)

. (2)

Найдем решение уравнения (1). Пусть u (x) – некоторое решение. Подставим u (x) во второе уравнение и найдем его общее решение . Тогда общим решением исходного уравнения будет функция .

Пример 2. .

Ищем решение этого уравнения в виде . Имеем , .

Функцию u выберем так, чтобы

(3)

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение:

или

Функция является решением этого уравнения. Функцию находим из уравнения , подставив найденную функцию u = x ²:

. (4)

Вновь получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим , или . Общим решением этого уравнения будет функция .

Следовательно, все решения исходного уравнения определяются формулой или .