Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение

,

Где – постоянные , называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Решение этого уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставив в уравнение, получим , так как , то функция будет решением дифференциального уравнения, если r удовлетворяет алгебраическому уравнению

. (*)

Последнее уравнение называют характеристическим уравнением для исходного дифференциального.

Уравнение (*) имеет два корня .

Рассмотрим возможные случаи:

1) при D > 0 уравнение (*) имеет действительные различные корни . Функции – решения дифференциального уравнения, они образуют фундаментальную систему решений исходного дифференциального уравнения;

2) при D = 0 корни уравнения (*) действительные и кратные, т.е. , тогда фундаментальная система решений состоит из функций и ;

3) при D <0 уравнение (*) имеет комплексно сопряженные корни , где , фундаментальная система решений состоит из функций.

Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация решений фундаментальной системы, т.е. , где – произвольные постоянные.

Уравнение

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами . Функция f (x) называется правой частью уравнения. Уравнение с теми же коэффициентами называют однородным дифференциальным уравнением, соответствующим данному неоднородному. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения Y (x) есть сумма общего решения соответствующего однородного y (x) и частного решения неоднородного :

.

Основная трудность состоит в нахождении . Однако существует простой способ нахождения частного решения в том случае, когда правая часть f (x) имеет специальный вид. Способ этот заключается в подборе частного решения в зависимости от вида правой части (метод неопределенных коэффициентов).

1. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где – заданный многочлен степени m, – действительное число.

Тогда частное решение ищем в виде , где – многочлен той же степени m, что и , но с неизвестными коэффициентами; k – кратность действительного корня α характеристического уравнения. Для отыскания коэффициентов следует подставить в исходное уравнение, поделить обе части на и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х. Получим систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

2. Пусть правая часть дифференциального уравнения имеет вид , где – заданные числа. Тогда частное решение следует искать в виде

,

где A, B – неизвестные постоянные, k – кратность комплексных корней характеристического уравнения.

Разберем несколько примеров.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Составим характеристическое уравнение ; его корни (можно найти по теореме Виета), им соответствует фундаментальная система решений (ФСР) и общее решение имеет вид .

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет кратный корень , ФСР: , общее решение .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение . Корни его найдем, используя общую формулу

.

Следовательно, . Корни характеристического уравнения комплексные , а потому им соответствуют частные решения и , составляющие ФСР. Следовательно, общее решение есть

.

Пример 4. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения имеет вид , его корнями будут числа ; ФСР образуют функции , общее решение соответствующего однородного уравнения .

Частное решение исходного уравнения следует искать в виде , так как коэффициентом при служит многочлен нулевой степени (, т.е. m=0), число не является корнем характеристического уравнения (k = 0, k – кратность корня α = 5).

Итак, .

Подставим в данное уравнение , или , отсюда

12 A = 1, и .

Общее решение исходного уравнения .

Пример 5. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет различные вещественные корни , а потому общее решение однородного уравнения .

Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , так как правая часть уравнения,

и не является корнем характеристического уравнения, k =0.

Подставим решение в исходное уравнение (в колонке слева записаны коэффициенты при в данном уравнении):

–2

или

.

Таким образом, имеем систему

,

т.е. A = –0,3; A = –0,9.

Получили частное решение .

Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

.