![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Вернемся вновь к задаче определения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), , прямыми x = a, x = b и отрезком оси OX.
Разобьем отрезок [ a, b ] точками на n равных частей (рис. 25). Получим n “малых” отрезков
; длина каждого отрезка
обозначается
, k=1, 2, …, n; в нашем случае длины всех отрезков одинаковы:
.
Рис. 25
Проведя через точки деления прямые, параллельные оси 0Y, мы разобьем криволинейную трапецию ABCD на n малых криволинейных трапеций – полосок с площадью (k=1, 2,…,n). Очевидно, площадь всей криволинейной трапеции ABCD
.
Эту последнюю сумму записывают так: , где греческая буква ∑ – это знак суммы, а символ
означает, что суммируются n слагаемых при изменении индекса k от 1 до n.
Заменим теперь площадь малой криволинейной фигуры MLPQ (рис. 26) площадью прямоугольника MLPQ, равной
. Искомая площадь S криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры:
.
Рис. 26
Очевидно, чем меньше длина промежутков ,тем точнее ступенчатая фигура приближает нашу криволинейную трапецию.
Будем теперь увеличивать вдвое число n точек деления, уменьшая вдвое длину интервалов разбиения.
Получим последовательность сумм
, (*)
где – площадь ступенчатой фигуры из n прямоугольников. Естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел последовательности
площадей ступенчатых фигур, когда
(при этом все длины
стремятся к нулю,
).
Сумма вида (*) называется интегральной суммой, а предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм
при
, если такой предел существует, называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [ a, b ] и обозначается символом
(читается – интеграл от a до b функции f (x)).
Итак,
.
Замечание. Мы рассмотрели здесь только частный случай последовательности интегральных сумм: разбиение отрезка [ a, b ] сделано так, что все (k=1, 2,…,n) равны между собой,
, точки
являются правыми концами промежутка
, а функция f (x) – непрерывна и неотрицательна. Вообще говоря, рассматриваются интегральные суммы более общего вида, а именно:
1) точки деления выбираются произвольно, не обязательно на равном расстоянии друг от друга;
2) на каждом отрезке длины
выбирается произвольная точка
;
3) сумму называют интегральной суммой (Римана) для функции f (x) на отрезке [ a, b ];
4) определенным интегралом называется такое число I, которое удовлетворяет условию: для любого (сколь угодно малого) положительного числа E найдется такое положительное число δ, что при и любом выборе точек
выполняется неравенство
.
Фактически определенный интеграл I является пределом интегральных сумм при стремлении к нулю всех отрезков разбиения, если этот предел существует и не зависит от выбора точек деления и выбора точек
.
Функции f (x), для которых определенный интеграл существует, называются интегрируемыми (по Риману) на отрезке [ a, b ]. К таким функциям относятся любые непрерывные на [ a, b ] функции, а также кусочно-непрерывные, т.е. имеющие на отрезке интегрирования лишь конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что интегрируемые на отрезке функции ограничены на этом отрезке.
Возвращаясь к задаче о площади, с которой мы начали, видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), где на [ a, b ], численно равна определенному интегралу
.
Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!