![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Математические модели многих природных процессов и явлений можно достаточно точно описать с помощью дифференциальных уравнений.
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее производные :
.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков производных, входящих в это уравнение.
Так, – уравнение первого порядка,
– уравнение второго порядка, а
– уравнение четвертого порядка.
Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке ее в уравнение обращает уравнение в верное равенство (тождество).
Рассмотрим пример: .
Решение этого уравнения легко угадывается. Функция y = cos x при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество: . Очевидно, что функция y =sin x также является решением этого уравнения. Легко проверить подстановкой в уравнение, что
, (*),
где – произвольные постоянные, является решением при любых
и
. Следует отметить, что всякое решение нашего уравнения можно получить из формулы (*) при соответствующем выборе
и
. Решение, записанное в виде (*), является общим решением уравнения, а y = cos x, полученная из формулы (*), при
,
– частное решение.
График кривой y = y (x), являющейся частным решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.
Точное определение общего решения дифференциального уравнения и некоторые другие поня-тия, связанные с дифференциальными уравнениями, рассмотрим для уравнений первого порядка.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 205 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!