Общие понятия и определения

Математические модели многих природных процессов и явлений можно достаточно точно описать с помощью дифференциальных уравнений.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f (x) и ее производные :

.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется высший из порядков производных, входящих в это уравнение.

Так, – уравнение первого порядка, – уравнение второго порядка, а – уравнение четвертого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке ее в уравнение обращает уравнение в верное равенство (тождество).

Рассмотрим пример: .

Решение этого уравнения легко угадывается. Функция y = cos x при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество: . Очевидно, что функция y =sin x также является решением этого уравнения. Легко проверить подстановкой в уравнение, что

, (*),

где – произвольные постоянные, является решением при любых и . Следует отметить, что всякое решение нашего уравнения можно получить из формулы (*) при соответствующем выборе и . Решение, записанное в виде (*), является общим решением уравнения, а y = cos x, полученная из формулы (*), при , – частное решение.

График кривой y = y (x), являющейся частным решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой.

Точное определение общего решения дифференциального уравнения и некоторые другие поня-тия, связанные с дифференциальными уравнениями, рассмотрим для уравнений первого порядка.