Вычисление определенного интеграла. Основные свойства

Впервые со словом “интеграл” и символом мы встретились, когда вводили понятие первообразной F (x) для функции f (x)и неопределенного интеграла. Решая в предыдущем параграфе задачу о площади криволинейной трапеции, мы получили определенный интеграл . (Символ ∫ происходит от вытянутой латинской буквы S, начальной в слове summa). Безусловно, это не случайно. Оказывается, с помощью неопределенного интеграла (первообразной) получен способ вычисления определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

,

где F (x) – одна из первообразных f (x), и определенный интеграл равен разности значения первообразной F (x) в верхнем пределе интегрирования F (b) минус значение F (x) в нижнем пределе интегрирования F (a).

Вспомним, что при вычислении площади криволинейной трапеции в пп. 3.3 мы уже встречались с этой формулой.

Разность F (b)– F (a) символически обозначают .

Пример 1. Вычислить .

Вычислим сначала первообразную от , затем по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Пример 2. Вычислить площадь S, ограниченную кривой и осью 0X.

Начертим график параболы и рассмотрим искомую площадь S (на рис. 27 площадь S заштрихована).

Рис. 27

Было показано, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной функцией f (x), на интервале [ a, b ], вычисляется как . В нашем случае на отрезке [0, 2] функция , и искомая площадь может быть вычислена по формуле , так как на отрезке [0, 2].

Итак, .

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. c – постоянная.

4. Если интервал интегрирования [ a, b ] разбит точкой c на части [ a, b ] и [ c, b ], то .

Геометрически выполнение свойства 4 очевидно (рис. 28).

Рис. 28

5. Если функция на интервале [ a, b ], то . Если и , то .

6. Если для всех выполняется условие , то .

Геометрический смысл свойства 6 определенного интеграла показан на рис. 29.

Рис. 29

Доказательство всех свойств 1 – 6 очевидно следует из определения определенного интеграла.