Теорема об оценке интеграла

Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], а m – наименьшее, M – наибольшее значения функции на [ a, b ], то и (рис. 31).

Рис. 31

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 3. Вычислить .

Вычислим этот интеграл, сделав подстановку u = ln x, . Функция ln x и ее производная непрерывны на интервале (1, 2). При замене переменной в определенном интеграле отпадает необходимость возвращения к первоначальной переменной, но в интеграле следует поменять пределы интегрирования.

Положим x = 1, тогда u = ln x = ln1 = 0; если x = 2, то u = ln x = ln2, и новые пределы интегрирования по переменной u будут от u = 0 до u = ln 2:

.

Пример 4. Вычислить . Заметим, что подынтегральная функция y =sin x нечетная, а область интегрирования – отрезок, симметричный относительно начала координат. Из геометрических соображений такой интеграл будет равен нулю (рис. 32).

Рис. 32

Действительно,

.

Интеграл от нечетной функции на симметричном относительно начала координат отрезке равен нулю.

Если же функция y = f (x) четная (рис. 33), то .

Рис. 33

Пример 5.

или .

Интеграл от четной функции на симметричном относительно начала координат отрезке [– a, a ] равен удвоенному интегралу по отрезку [0, a ].

Рассмотрим, как применяется формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Пример 6. Вычислить .

Пусть u = x, . Тогда .

.

Мы ознакомились в этой главе только с основными понятиями интегрального исчисления. Многие методы вычисления первообразной, несобственные интегралы, приложения определенного интеграла, вопросы приближенного вычисления и др. не входят в круг рассмотрения этого пособия.

4. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ