Способы интегрирования уравнений первого порядка

Операцию отыскания решения дифференциального уравнения называют интегрированием уравнения. Мы рассмотрим лишь два простых класса дифференциальных уравнений, для которых находится общее решение.

Уравнения с разделяющимися переменными. К таким уравнениям относятся уравнения вида , где .

Для интегрирования уравнение запишем в виде

.

Простыми преобразованиями перепишем уравнение так:

.

Переменные разделились: слева записан дифференциал некоторой функции от y, а справа – от x. Проинтегрируем обе части полученного уравнения: или – получили общее решение уравнения (возможно, в неявном виде).

Замечание. При делении уравнения на h (y) предполагается, что (могли потерять решение уравнения).

Пример 1. .

Перепишем уравнение в виде .

Функции y =0 и y = –2 являются решениями уравнения. Остальные решения найдем, разделив переменные и интегрируя полученное уравнение:

.

Произвольную постоянную здесь удобно записать как . Тогда или .