Интеграл и задача об определении площади

Заканчивая главу о первообразной, покажем, как понятие первообразной (неопределенного интеграла) теснейшим образом связано с определением площади плоской фигуры. Причем воспользуемся здесь интуитивным представлением о площади плоской фигуры, отложив точную постановку этого вопроса.

Пусть имеем непрерывную на отрезке [ a, b ] функцию f (x), принимающую лишь положительные (неотрицательные) значения.

Рассмотрим фигуру ABCD (рис. 24), ограниченную кривой y = f (x), прямыми x = a, x = b и отрезком оси 0X; такую фигуру называют криволинейной трапецией. Изучим вопрос о площади криволинейной трапеции. Для этого возьмем некоторую переменную точку x, лежащую на интервале [ a, b ], и рассмотрим площадь фигуры ABLK. При изменении x эта последняя площадь будет, очевидно, соответственно изменяться, причем каждому значению переменной x отвечает вполне определенное значение площади криволинейной трапеции. Поэтому площадь криволинейной трапеции ABLK является некоторой функцией от x; обозначим эту функцию S (x). Найдем (если это возможно) производную функции S (x) при изменении x. Для этого дадим x приращение (например, положительное) ; тогда площадь S (x) получит приращение . Обозначим m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения f (x) на промежутке и сравним площадь с площадями прямоугольников и . Очевидно, или .

Рис. 24

Если теперь , то , вследствие непрерывности f (x) значения , ; существует предел . Таким образом, мы получили замечательный результат.

Теорема. Производная от переменной площади по переменной абсциссе x равна значению функции в этой переменной точке f (x).

Иными словами, переменная площадь S (x) представляет собой одну из первообразных – для данной функции y = f (x): .

Так как все первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину c, то если F (x) какая-либо первообразная для f (x), тогда S (x) = F (x) + c.

Положив здесь x = a и считая (очевидно) S (a)=0, получим 0 = F (a) + c, c = – F (a).

Окончательно, S (x)= F (x)– F (a), где x – любая точка из интервала [ a, b ]. В частности, для получения площади всей криволинейной трапеции ABCD следует взять x = b:

.

Этот важный результат называют теоремой Ньютона-Лейбница. Мы еще встретимся с этой теоремой в дальнейшем: площадь криволинейной трапеции S равна разности значений (произвольной) первообразной F (x) в концах интервала [ a, b ].