Выпуклость функции. Точки перегиба. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале [a, b]

Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале [ a, b ].

Определение. Функция f (x) выпукла на интервале [ a, b ], если касательная к графику в каждой точке , лежит не выше графика функции (под графиком): .

На рис. 19 изображена функция, выпуклая на [ a, b ]. Заметим, что для выпуклой функции справедливо утверждение: график функции на интервале [ a, b ] лежит под хордой AB. Характер выпуклости дважды дифференцируемой функции определяется знаком ее второй производной.

Рис. 19 Рис. 20

Справедливо следующее утверждение: пусть f (x) имеет вторую производную во всех точках интервала [ a, b ] и для всех , тогда функция f (x) выпукла на [ a, b ].

В противном случае, если для всех , то f (x) не является выпуклой на [ a, b ] и говорят, что она вогнута на этом интервале (рис. 20).

Определение. Точка называется точкой перегиба, если точка отделяет выпуклую часть графика от вогнутой. Очевидно, что в точке перегиба . Это условие является необходимым условием точки перегиба.

Достаточное условие точки перегиба. Если в точке и вторая производная слева и справа от этой точки имеет разные знаки, то – точка перегиба функции.