Общее представление о линеаризации функции

При изучении функции вблизи какой-либо точки, например вблизи нуля, часто бывает выгодно заменить исследуемую функцию другой, более удобной для рассмотрения функцией, например линейной. При этом допускается некоторая ошибка.

Пусть задана функция . Вблизи нуля х мало, а еще меньше, и последний член не оказывает существенного влияния на поведение данной функции. Если отбросить член , функция заменится линейной: . Этот процесс замены функции линейной функцией называется линеаризацией. При линеаризации многочлена вблизи нуля отбрасываются все члены, содержащие степени x выше первой.

Пример1. , отсюда следует: если , то .

Если , то .

Особенно важен случай .

Здесь отброшенные члены являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем x, т.е. .

Можно доказать, что , т.е. . Выписанные ранее эквивалентные величины позволяют нам заменить некоторые функции вблизи нуля более простыми, линейными функциями, т.е. линеаризовать их. Таким образом, мы имеем:

Погрешности, получаемые при такой замене, есть бесконечно малые более высокого порядка малости, чем x, т.е. o(x). Заметим, что функции и нельзя линеаризовать вблизи нуля, так как вблизи x = 0 они не ограничены.

Пример 2. Пусть необходимо приближенно вычислить . Представим число 82 в виде суммы 81+1. Тогда

При линеаризации функции y = f (x) вблизи точки , т.е. при , величина приращения аргумента будет бесконечно малой. Функцию f (x), если это возможно, представляют в виде

или

.

Мы знаем, что величина является дифференциалом функции y = f (x), т.е. .

Итак, функции, допускающие линеаризацию, являются дифференцируемыми. Процесс линеаризации функции эквивалентен замене приращения функции вблизи точки ее дифференциалом:

или

.

Например:

1⁰. . Имеем , значит,

.

В частности, при x = 0 ; так,

.

2⁰. y = ln x. Имеем , значит, .

В частности, при x = 1 получаем знакомую формулу (при ); так,
ln 1,03≈0,03.

Из геометрического смысла дифференциала следует, что линеаризация функции y = f (x) вблизи точки означает замену графика функции куском ее касательной в этой точке. Эта идея используется при отыскании интегральной кривой дифференциального уравнения. Подробнее об этом будет сказано ниже.