Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график

Исследовать функцию и построить ее график.

1⁰. Функция определена на всей числовой оси, за исключением точки x = 1, где знаменатель обращается в нуль. Так как область определения не симметрична относительно начала координат, то нет смысла говорить о четности (нечетности) функции.

Найдем точки пересечения графика с осями координат: y = 0 при x = 3 (точка пересечения с осью 0X); при x = 0 y = 9 (точка пересечения с осью 0Y).

2⁰. В точке x =1 знаменатель дроби равен нулю, т.е. x = 1 – точка разрыва функции, а .

Точка x = 1 – точка бесконечного разрыва (II рода) и прямая x = 1 является вертикальной асимптотой графика.

Найдем наклонную асимптоту y = kx + b:

.

=5.

Итак, наклонная асимптота y = 5 – x.

3⁰. Исследование функции с помощью первой производной:

.

при – стационарные точки, не существует при x =1 (в точке разрыва функции).

Отметим на числовой оси стационарные точки, точки разрыва функции и производной. Эти точки отделяют интервалы монотонности функции. Определим знаки в каждом из этих интервалов.

На интервалах , значит, функция y (x) здесь убывает; на интервалах (–1, 1) и (1, 3) производная , следовательно, эти интервалы являются интервалами возрастания функции.

При переходе слева направо через точку x = –1 производная меняет знак с (–) на (+), следовательно, x =–1 – точка минимума, ; при переходе через точку x = 1 производная не меняет знака; при переходе же через точку x = 3 производная меняет знак с (+) на (–), значит, x = 3 – точка максимума, .

4⁰. Вычислим вторую производную:

.

Вторая производная в нуль не обращается, точек перегиба график не имеет. На интервале вторая производная положительна, график функции выпуклый. На интервале график функции вогнутый.

Точка разрыва функции x = 1 отделяет выпуклую часть графика функции от вогнутой.

5⁰. График функции, построенный по результатам исследования, изображен на рис. 23.

Рис. 23

3. Элементы интегрального исчисления