Понятие первообразной. Основные правила интегрирования

В предыдущей главе “Дифференциальное исчисление” мы решали следующую задачу: по данной функции найти ее производную. Во многих вопросах науки и техники приходится решать обратную задачу, а именно, восстанавливать функцию по известной ее производной. Эта обратная операция более сложная, чем предыдущая прямая задача.

Пусть дана функция f (x), которая является производной функции F (x), и, зная функцию f (x), будем искать F (x),для которой f (x) служит производной.

Определение. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x), если f (x) является производной для F (x) или, что то же, выражение f (x) dx служит дифференциалом для F (x) на данном промежутке изменения x:

или dF (x)= f (x) dx.

Так, например, для функции первообразной будет , так как .

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, есть первообразная для , так как . Но функция также будет первообразной для , так как . Вообще, любая функция , где c – произвольная постоянная, имеет производную и потому будет первообразной для .

Задача отыскания всех первообразных для f (x) является одной из основных задач интегрального исчисления.

Возникают три вопроса: всякая ли функция f (x) имеет первообразную? если первообразная существует, то единственна ли она? как находить первообразную?

На второй вопрос мы уже можем ответить. Справедливо следующее утверждение: если функция F (x) есть первообразная для f (x) на некотором промежутке изменения x, то F (x)+ c, где c – любая постоянная, также будет первообразной. И обратно, каждая первообразная для f (x) может быть представлена в виде F (x)+ c. Таким образом, выражение F (x)+ c представляет собой общий вид первообразных для f (x).

Совокупность всех первообразных для f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается

.

Операцию отыскания всех первообразных для f (x), т.е. отыскание неопределенного интеграла, называют интегрированием функции f (x); функцию f (x) называют подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Для ответа на второй вопрос сформулируем теорему, дающую достаточное условие интегрируемости функции на интервале.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на данном промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную, т.е. существует .

Это утверждение мы примем без доказательства. Заметим только, что условие непрерывности не является необходимым для интегрируемости функции (например, функции, имеющие конечное число точек разрыва I рода на промежутке, также имеют первообразную). Ответ на вопрос, как найти первообразную для функции f (x), не прост. Начнем с того, что перечислим основные свойства неопределенного интеграла, или простейшие правила интегрирования.

1. , т.е. или.

2. или .

Выполнение этих свойств следует непосредственно из определения неопределенного интеграла и первообразной.

Свойства 1, 2 показывают, что если функцию f (x) проинтегрировать, а затем продифферен-цировать, то получим снова функцию f (x).

Если к F (x) сначала применить операцию дифференцирования, а затем интегрирования, то получим снова F (x), правда, следует прибавить к ней постоянную c. Операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными.

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, т.е.

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

Для проверки всех этих простейших правил интегрирования достаточно продифференцировать обе части равенства.