![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В предыдущей главе “Дифференциальное исчисление” мы решали следующую задачу: по данной функции найти ее производную. Во многих вопросах науки и техники приходится решать обратную задачу, а именно, восстанавливать функцию по известной ее производной. Эта обратная операция более сложная, чем предыдущая прямая задача.
Пусть дана функция f (x), которая является производной функции F (x), и, зная функцию f (x), будем искать F (x),для которой f (x) служит производной.
Определение. Функция F (x) называется первообразной функцией для функции f (x), если f (x) является производной для F (x) или, что то же, выражение f (x) dx служит дифференциалом для F (x) на данном промежутке изменения x:
или dF (x)= f (x) dx.
Так, например, для функции первообразной будет
, так как
.
Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, есть первообразная для
, так как
. Но функция
также будет первообразной для
, так как
. Вообще, любая функция
, где c – произвольная постоянная, имеет производную
и потому будет первообразной для
.
Задача отыскания всех первообразных для f (x) является одной из основных задач интегрального исчисления.
Возникают три вопроса: всякая ли функция f (x) имеет первообразную? если первообразная существует, то единственна ли она? как находить первообразную?
На второй вопрос мы уже можем ответить. Справедливо следующее утверждение: если функция F (x) есть первообразная для f (x) на некотором промежутке изменения x, то F (x)+ c, где c – любая постоянная, также будет первообразной. И обратно, каждая первообразная для f (x) может быть представлена в виде F (x)+ c. Таким образом, выражение F (x)+ c представляет собой общий вид первообразных для f (x).
Совокупность всех первообразных для f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается
.
Операцию отыскания всех первообразных для f (x), т.е. отыскание неопределенного интеграла, называют интегрированием функции f (x); функцию f (x) называют подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.
Для ответа на второй вопрос сформулируем теорему, дающую достаточное условие интегрируемости функции на интервале.
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на данном промежутке, то она имеет на этом промежутке первообразную, т.е. существует .
Это утверждение мы примем без доказательства. Заметим только, что условие непрерывности не является необходимым для интегрируемости функции (например, функции, имеющие конечное число точек разрыва I рода на промежутке, также имеют первообразную). Ответ на вопрос, как найти первообразную для функции f (x), не прост. Начнем с того, что перечислим основные свойства неопределенного интеграла, или простейшие правила интегрирования.
1. , т.е.
или.
2. или
.
Выполнение этих свойств следует непосредственно из определения неопределенного интеграла и первообразной.
Свойства 1, 2 показывают, что если функцию f (x) проинтегрировать, а затем продифферен-цировать, то получим снова функцию f (x).
Если к F (x) сначала применить операцию дифференцирования, а затем интегрирования, то получим снова F (x), правда, следует прибавить к ней постоянную c. Операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными.
3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов, т.е.
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
Для проверки всех этих простейших правил интегрирования достаточно продифференцировать обе части равенства.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 301 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!