Монотонные функции. Точки экстремума

Напомним, что функция f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух значений ее аргумента из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции: (рис. 15).

Рис. 15

Функция f(x) называется убывающей на некотором интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: (рис. 16).

Рис. 16

Функции, возрастающие или убывающие на интервале, называются монотонными. Возрастание (убывание) функции считается нестрогим, если для .

Монотонность дифференцируемой функции определяется знаком ее первой производной.

Теорема (признак возрастания и убывания функции). Если функция f (x) дифференцируема во всех точках некоторого интервала и производная положительна в каждой точке интервала, то f (x) строго возрастает на этом интервале. Если же производная отрицательна во всех точках интервала, то f (x) убывает.

Пример 1. Пусть дана функция . Необходимо исследовать поведение функции на интервале (–5, 1).

Найдем производную

.

На интервале (–5, 1) множитель (x + 5) > 0, а (x –1) < 0, значит, и функция y = f (x) убывает на указанном интервале.

Заметим, что утверждение, обратное сформулированному признаку, несправедливо, так как не для всякой возрастающей (убывающей) на интервале функции ее производная строго положительна (отрицательна). Например, – всюду возрастающая функция, а ее производная обращается в нуль при x = 0.

На рис. 17 функция возрастает на интервале , убывает на интервале , возрастает на интервале . Точки отделяют интервалы возрастания и убывания функции. Точка х ₁ обладает следующим свойством: значение функции больше значений во всех “соседних” точках как слева, так и справа; в точке х₂ значение функции меньше, чем значение функции во всех “соседних” точках.

Рис. 17

Определение. Точка х ₁ называется точкой максимума (max) функции f (x), если существует такая окрестность х ₁, что значение больше любого значения f (x) для всякого x из этой окрестности.

Точка х ₂ называется точкой минимума (min) функции f (x), если существует некоторая окрестность х ₂, что меньше f (x) для всякого x из этой окрестности.

Подчеркнем локальный (местный) характер точек max и min функции. Значение функции в точке максимума (минимума) не обязано быть самым большим (малым) значением функции в ее области определения. Так, на рис. 17 видно, что значение не является наибольшим на отрезке [ a, b ], а – наименьшим.

Наибольшее значение функции на всей области определения называют глобальным максимумом функции. Аналогично определяется глобальный минимум функции. Точки локального максимума и минимума функции называют точками экстремума функции. Точки экстремума лежат внутри интервала определения функции, а наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции могут достигаться на концах интервала. На рис. 17 видно, что касательные, проведенные к графику функции в точках х ₁ и х ₂ (в точках экстремума), параллельны оси 0X, т.е. (мы здесь рассматриваем функцию, дифференцируемую на [a, b]).

Теорема (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) в точке х₀ имеет экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Не следует думать, что справедливо обратное утверждение. Так, на рис. 17 , хотя очевидно, что в точке х₃ нет ни min, ни max функции, хотя касательная в этой точке также параллельна оси 0X.

Определение. Точки, в которых производная дифференцируемой функции равна нулю, называются стационарными точками.

На рис. 17 точки – стационарные точки.

Как выделить среди стационарных точек точки экстремума? На рис. 17 в точках экстремума меняется характер монотонности функции, в точке х ₃ при движении по оси 0X слева направо характер монотонности не меняется (функция возрастает).

Теорема (достаточный признак экстремума). Если при переходе через стационарную точку слева направо по оси 0X производная функция меняет знак с (+)на (–), то х ₀ – точка max, если же с (–) на (+), то х ₀ – точка min.

Так, на рис. 17 справа от точки х ₁ функция возрастает, т.е. , а слева от х ₁ функция f (x) убывает, т.е. , значит, х ₁ – точка максимума. Соответственно, по сформулированному признаку, точка х ₂ – точка минимума функции.

Алгоритм отыскания точек локального min и max функции изложим на примере.

Пример 2. Найти точки экстремума функции .

1⁰. Функция определена и дифференцируема на всей числовой оси (нашли область определения и дифференцируемости функции).

2⁰. Найти стационарные точки функции, т.е. точки, в которых

,

.

– стационарные точки функции.

3⁰. Определить интервалы монотонности функции и точки max и min.

На числовой оси отметим стационарные точки и определим знаки производной на полученных интервалах и . Таким образом, на интервале функция возрастает , на интервале (–5,1) – убывает , в точке x = –5 производная меняет знак с (+) на (–), значит, x = –5 – точка max. В точке x = 1 производная слева , справа , значит, точка
x = 1 – точка min.

4⁰. Вычислить и выписать ответ.

;

.

На рис. 18 в точках функция не дифференцируема (нет касательной), хотя в этих “критических точках” меняется характер монотонности функции. Можно использовать сформулированный ранее признак эктремумов функции, и в этом случае точка х ₁ – точка max, х ₂ – точка min.

Рис. 18

На практике часто встречается задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на замкнутом отрезке.

Алгоритм решения этой задачи рассмотрим на примере.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ – 6, 5].

1⁰. Находим точки, в которых производная равна нулю либо не существует. Среди найденных точек выберем те, которые находятся на отрезке.

.

.

Обе точки лежат в заданном отрезке.

2⁰. Вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка.

.

3⁰. Из вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Выписать ответ.

Ответ: наибольшее значение функция достигает на конце интервала в точке x = – 6, = 30.

Наименьшее значение достигается в точке min при x =1, .

Итак, точка x = –6 является точкой глобального максимума, а точка x = 1 – точкой глобального минимума функции на отрезке [–6, 5].