Дифференциал функции, его геометрический смысл

Напомним, что если , то в окрестности имеем , где
(при ). Из определения производной следует, что , где при , т.е. - б.м. при . Отсюда .

Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых: – есть бесконечно малая более высокого порядка, чем (вспомните, что это значит); второе слагаемое линейно зависит от и служит хорошим приближением к приращению функции при малых .

Определение. Величина называется дифференциалом функции f (x) в точке и обозначается .

Таким образом,

. (*).

Такое выражение для возможно лишь в случае существования . Подобные функции называют дифференцируемыми в точке . Формулу (*) можно использовать в приближенных вычислениях. Из определения следует, что для независимой переменной и .

Геометрический смысл дифференциала виден из рис. 14.

Из имеем: , но , . Следовательно, . Поэтому говорят, что df есть приращение ординаты касательной (т.е. приращение линейной функции, графиком которой служит касательная). На рисунке отличие df от выглядит величиной, сравнимой с и . Но это потому, что величина не мала. При видно, что отличие начинает “сильно проигрывать” приращению и действительно является величиной, стремящейся к нулю быстрее, чем (т.е.о ).

Рис. 14

В приближенных вычислениях полагают , или