Понятие непрерывности функции. Точки разрыва функции

Наиболее важным классом функций является класс непрерывных функций.

Определение. Функция у = f (x) называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: или .

На рис. 6 изображена функция, непрерывная в точке , а на рис. 7 – разрывная, так как здесь для всех приращение функции Δ y будет больше величины “скачка” функции, равной величине а.

Рис. 6

На рис. 7 видно, что при движении по графику функции к слева () значение функции приближается к числу A (не обязательно принимает это значение в точке ). Говорят, что левый предел функции (или предел слева) при равен A. Записывают так:

.

Рис. 7

Аналогично при x, стремящемся к справа (), функция имеет предел, равный числу B: .

Иными словами, чтобы функция x = f (x) была непрерывной в точке , должны выполняться следующие условия:

1) функция определена в точке , существует f ();

2) существуют левый и правый конечные пределы функции ;

3) выполняются равенства .

Данное определение непрерывности функции в точке эквивалентно следующему.

Определение. Функция f (x) непрерывна в точке , если .

Верны следующие теоремы.

Теорема 1. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Теорема 2. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций в данной точке есть функция, непрерывная в этой точке (для частного – знаменатель не должен обращаться в нуль в данной точке).

Теорема 3 (непрерывность сложной функции). Пусть x = f (x) непрерывна в точке , а
z = g (y) непрерывна в точке , тогда сложная функция z = g (f (x)) непрерывна в точке .

Точки разрыва. Напомним, что функция a = f (x) непрерывна в точке , если выполнены равенства .

Если хотя бы одно из равенств не выполнено в точке , то говорят, что точка является точкой разрыва функции y = f (x) (функция терпит разрыв в этой точке).

На рис. 8 и 9 функция f (x) имеет конечные пределы справа и слева . Эти пределы равны, но значение функции в точке не существует (рис. 8) или (рис. 9). Говорят, что в точке функция y = f (x) имеет устранимый разрыв первого рода. Переопределив функцию в точке (рис.9), полагая , получим непрерывную в точке функцию. Аналогично, доопределив в точке функцию, представленную на рис. 8, полагая , вновь получим непрерывную в точке функцию.

Рис. 8

Рис. 9

Неустранимый разрыв первого рода изображен на рис. 10. Здесь , хотя оба предела существуют и конечны. Функция в точке имеет конечный “скачок” .

Рис. 10

Наконец, – точка разрыва второго рода для функции y = f (x), если хотя бы один из пределов или бесконечен (рис. 11, 12).

Рис. 11

Рис. 12

Замечание. Точка относится к точкам разрыва второго рода также и в случае, когда хотя бы один из пределов функции справа или слева не существует. Например, в точке x = 0 имеет разрыв второго рода.

Функции, непрерывные в каждой точке своей области определения, образуют наиболее важный класс функций. Они обладают многими замечательными свойствами. Например, для таких функций справедлива теорема Вейерштрасса: функции, непрерывные на отрезке [ a, b ], достигают на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (внутри или на границах отрезка).

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной