Правила предельного перехода

Существуют правила, при помощи которых часто удается непосредственно находить пределы функций. Сформулируем простейшие из этих правил.

1. Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Пусть f (x) = c, тогда можно представить функцию как сумму , где , т.е. .

2. Предел суммы, разности, произведения конечного числа функций, имеющих предел при (или при ), равен соответственно сумме, разности, произведению пределов этих функций.

Если , , то , .

Предел частного двух функций равен частному их пределов, если предел знаменателя не равен нулю.

Если , , то .

Докажем одно из этих утверждений, например, предел произведения. Пусть , , это значит, что , а , где и при , а произведение функций .

Величина, заключенная в скобки, есть бесконечно малая при , а поэтому

Подобным образом можно доказать это утверждение в случае любого конечного числа множителей.

Остальные утверждения доказываются аналогично.

Из изложенных утверждений, в частности, следуют:

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2. Предел степени равен степени от предела:

Заметим, что это правило верно не только для целых положительных степеней n, но для любого .

Изложенные здесь утверждения дают простые правила для нахождения пределов. Пользуясь этим правилами, решим следующие примеры.

Пример 1. Найдем предел функции при .

Имеем

Пример 2. .

Пример 3. .

Здесь и числитель и знаменатель – бесконечно малые, но их можно представить в виде , .

Теперь получим

Пример 4. .

Воспользоваться непосредственно теоремой о пределе частного здесь нельзя, так как предел знаменателя равен нулю. Предварительно преобразуем функцию

Здесь использовано разложение (a ³ – b ³) = (a – b) (a ²+ ab + b ²).

К функции уже можно применить правило о пределе частного.

Не будем более останавливаться на технике вычисления пределов. Заметим, что при вычислении пределов возникают неопределенности следующих типов: , требующие дополнительных преобразований. В то же время, как уже было отмечено ранее, величина, обратная бесконечно малой , стремится к бесконечности. Например, .

Величина, обратная бесконечно большой , есть бесконечно малая величина. Например, .

Итак, величины типа и не являются неопределенностями. Для раскрытия перечисленных ранее неопределенностей используются следующие замечательные пределы.

1. Предел отношения многочленов при стремлении аргумента к бесконечности (неопределен-ность типа ):

Убедимся в справедливости этой формулы.