Квадратичная форма. Критерий Сильвестра

Р.ассмотрим функцию специального вида. Квадратичная форма:

ОПР: Функция Ф(t1,t2,…,tk)= называется квадратичной формой, где Аik коэффициенты квадратичной формы, - переменные квадратичные формы, d²u квадратичная форма относительно dx1, ….,dxn c коэффициентом Aik= . Если Aik=Aki, то квадратичная форма называется симметричной. Данной квадратичной форме ставится в соответствие матрица коэффициентов квадратичной формы.

ОПР: Матрицей А размера m´n называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и n столбцов.

ОПР: Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

ОПР: Симметричной: Aik=Aki

ОПР: Определителем матрицы называется число характеризующее матрицу detA

Существуют способы вычисления det:

ОПР: Минор - некоторый фрагмент матрицы.

ОПР: Главными минорами матрицы А называются следующие определители:

А1=А11

А2=а11*А22-А21*А12

А3=А11*А22*А 33+А21*А22*А13+А31*А22*А13 – А32*А23*А11 – А21*А12*А33

Аm=det A

ОПР: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений t1,t2,…, tn одновременно не равных 0 она принимает строго положительные значения.

ОПР: Квадратичная форма называется отрицательно определенной если для любых значений неравенств t1,t2,…tn она принимает строго отрицательные значения.

ОПР: Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения при различных наборах t1,t2,…tn

Критерий Сильвестра знакопеременной квадратичной формы:

1. Для того, чтобы квадратичная форма или матрица была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительными.

2. Для того чтобы квадратичная форма или матрица была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем первый был отрицательный.

Замечание: если хоть одно из условий не выполняется, то форма знакопеременная.